《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

4. 如图,有甲、乙两座建筑物,从甲建筑物 $A$ 点处测得乙建筑物 $D$ 点的俯角 $\alpha$ 为 $45^{\circ}$,$C$ 点的俯角 $\beta$ 为 $58^{\circ}$,$BC$ 的长为两座建筑物的水平距离. 已知乙建筑物的高度 $CD$ 为 $6$ m,求甲建筑物的高度 $AB$.($\sin 58^{\circ} \approx 0.85$,$\cos 58^{\circ} \approx 0.53$,$\tan 58^{\circ} \approx 1.60$,结果保留整数)

答案：
解:过点 D 作 $DE\perp AB$ 于点 E,如图.
　　　　　
则 $BE=CD=6\ m$,$\angle ADE=45°$,$\angle ACB=58°$.
在 $Rt\triangle ADE$ 中,$\angle ADE=45°$,
设 $AE=x\ m$,则 $DE=BC=x\ m$,$AB=AE + BE=(6 + x)\ m$.
在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\tan\angle ACB=\tan58°=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6 + x}{x}\approx1.60$,
解得 $x\approx10$.
$\therefore AB\approx6 + 10=16(m)$.
$\therefore$ 甲建筑物的高度 $AB$ 约为 $16\ m$.

5. 某数学兴趣小组在迎宾广场测量旅游服务中心(如图1)的高度,图2为测量示意图,直线 $MN$ 为服务中心的对称轴,在地面的点 $B$ 处架设测角仪,测得旅游服务中心的最高点 $D$ 的仰角为 $45^{\circ}$,利用无人机在点 $B$ 的正上方 $57.8$ m 的点 $C$ 处测得点 $D$ 的俯角为 $32^{\circ}$,测角仪的高度 $AB = 1.6$ m,$FH = 17.2$ m,$DE = 19.8$ m. 求旅游服务中心的高度为多少米.(结果精确到 $0.1$ m. 参考数据：$\sin 32^{\circ} \approx 0.530$,$\cos 32^{\circ} \approx 0.848$,$\tan 32^{\circ} \approx 0.625$,$\sqrt{2} \approx 1.414$)

答案：
解:作 $DG\perp AC$ 于点 $G$.
　　　　　
由题意可得,$\angle 1=32°$,$\angle 2=45°$,
$\therefore \angle CDG=32°$,$\angle ADG=45°$.
$\therefore \angle ADG=\angle DAG=45°$.
$\therefore GD=GA$.
设 $CG=x\ m$,则 $AG=BC - BA - CG=57.8 - 1.6 - x=(56.2 - x)\ m$,
则 $GD=(56.2 - x)\ m$.
$\therefore \tan32°=\dfrac{x}{56.2 - x}\approx0.625$,
解得 $x\approx21.6$.
$\therefore BG=BC - GC\approx57.8 - 21.6=36.2(m)$.
$\therefore MN=BG\approx36.2\ m$.
答:旅游服务中心的高度约为 $36.2\ m$.