《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠DAB = ∠CBA = 90^{\circ}$,$E为边AB$的黄金分割点($AE ＞ BE$),$AD = AE$,$BC = BE$,$AC$,$DE$将四边形分为四个部分,它们的面积分别用$S_1$,$S_2$,$S_3$,$S_4$表示,则下列判断中正确的是(C)

A.$S_1 = 4S_2$
B.$S_4 = 3S_2$
C.$S_1 = S_3$
D.$S_3 = S_4$

答案： C

9. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比,是自然界最美的鬼斧神工. 如图,$P是AB$的黄金分割点($AP ＞ BP$),若线段$AB的长为8\ cm$,则$BP$的长为(12-4$\sqrt{5}$)$cm$.

答案： (12-4$\sqrt{5}$)

10. 在设计人体雕像时,雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的长度比,等于下部与全部(全身)的长度比(即$\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{AC}$),可以增加视觉美感. 按比例,如果雕像(如图)的高为$2\ m$,那么它的下部应设计多长？(结果保留小数点后两位)
(参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$,$\sqrt{3} \approx 1.732$,$\sqrt{5} \approx 2.236$)

答案： 解:设下部应设计为x m,则上部的长度为(2-x)m.
根据题意得$\frac{2-x}{x}=\frac{x}{2}$,
整理得$x^2+2x-4=0$.
解得$x_1=-1+\sqrt{5}$,$x_2=-1-\sqrt{5}$(舍去).
∴ $-1+\sqrt{5}\approx1.24$.
答:雕像的高为2 m时,它的下部应设计约为1.24 m长.

11. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,$DE // BC$,$BD = 2$,$AC = 8$.
(1) 若$AD = CE$,求$AD$的长；
(2) 若点$D是边AB$的黄金分割点($BD ＜ AD$),求$AE$的长.

答案： 解:
(1)设AD=CE=x.
∵ AC=8,
∴ AE=AC-CE=8-x.
∵ DE//BC,
∴ $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$,即$\frac{x}{2}=\frac{8-x}{x}$.
解得$x=\sqrt{17}-1$或$x=-\sqrt{17}-1$(舍去).
∴ AD的长为$\sqrt{17}-1$.
(2)
∵ 点D是边AB的黄金分割点(BD＜AD),
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ DE//BC,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ AC=8,
∴ $AE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×8=4\sqrt{5}-4$.