《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,在ABCD中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 AD 上一点,连接 EO 并延长,交 BC 于点 F,连接 AF,CE,且 EF 平分∠AEC.
(1) 求证：四边形 AFCE 是菱形.
(2) 若∠DAC = 60°,AC = 2,求四边形 AFCE 的面积.

答案：
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,AO=CO.
∴ ∠AEF=∠CFE.
∴ △AOE≌△COF(AAS).
∴ OF=OE.
∵ AO=CO,
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
∵ EF 平分∠AEC,
∴ ∠AEF=∠CEF.
∴ ∠CFE=∠CEF.
∴ CE=CF.
∴ 四边形 AFCE 是菱形.
(2)解:由
(1)得四边形 AFCE 是菱形,
∴ AC⊥EF,AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=1.
∴ ∠AOE=90°.
∵ ∠DAC=60°,
∴ ∠AEO=30°.
∴ OE=$\sqrt{3}$AO=$\sqrt{3}$.
∴ EF=2OE=$2\sqrt{3}$.
∴ 四边形 AFCE 的面积=$\frac{1}{2}$AC×EF=$\frac{1}{2}$×2×$2\sqrt{3}$=$2\sqrt{3}$.

9. 如图,在菱形 ABCD 中,AB = 8,∠BAD = 120°,△AEF 为等边三角形,点 E,F 分别在菱形的边 BC,CD 上移动,且 E,F 不与 B,C,D 重合.
(1) 求证：不论 E,F 在边 BC,CD 上如何移动,总有 BE = CF.
(2) 四边形 AECF 的面积是16√3,△CEF 的面积的最大值是4√3.

答案：
(1)证明:连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°,
∴ AB=BC,∠BAC=60°.
∴ △ABC 是等边三角形.
∴ AB=AC.
∵ △AEF 是等边三角形,
∴ ∠EAF=60°,AE=AF.
∴ ∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°.
∴ ∠BAE=∠CAF.
∵ AB=AC,AE=AF,
∴ △ABE≌△ACF(SAS).
∴ BE=CF.
(2)$16\sqrt{3}$ $4\sqrt{3}$