《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

1. 等比性质:如果$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}=… =\frac{m}{n}(b + d+…+n≠0)$,那么$\frac{a + c+…+m}{b + d+…+n}= \frac{a}{b}$.

答案： 答题卡填写内容：
解：
设 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \ldots = \frac{m}{n} = k$，
根据比例关系，可以得到：
$a = bk$，
$c = dk$，
$\ldots$
$m = nk$，
将上述等式代入原式，得：
$\frac{a + c + \ldots + m}{b + d + \ldots + n} = \frac{bk + dk + \ldots + nk}{b + d + \ldots + n}$，
提取公因子k，得：
$\frac{k(b + d + \ldots + n)}{b + d + \ldots + n} = k$，
由题意知，$\frac{a}{b} = k$，
所以，$\frac{a + c + \ldots + m}{b + d + \ldots + n} = \frac{a}{b}$。

2. 合比性质:如果$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,那么$\frac{a + b}{b}= \frac{c + d}{d}$.

答案： 证明：
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
∴$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，
即$\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}$，
∴$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。
结论：$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。

3. 分比性质:如果$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,那么$\frac{a - b}{b}= \frac{c - d}{d}$.

答案： 证明：
∵$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$，
∴$\frac{a}{b}-1= \frac{c}{d}-1$，
即$\frac{a}{b}-\frac{b}{b}= \frac{c}{d}-\frac{d}{d}$，
∴$\frac{a - b}{b}= \frac{c - d}{d}$.

1. 已知$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{f}= \frac{4}{5}$,且$b - d + f≠0$,则$\frac{a - c + e}{b - d + f}= $$\frac{4}{5}$.

答案： $\frac{4}{5}$

2. 若$2a = 3b = 4c$,且$abc≠0$,则$\frac{a + b}{c - 2b}$的值是(B)
A.$2$
B.$-2$
C.$3$
D.$-3$

答案： B

3. 已知线段$a,b,c满足\frac{a}{3}= \frac{b}{2}= \frac{c}{6}$,且$a + b + c = 22$.
(1)求线段$a,b,c$的长;
(2)若线段$x是线段a,b$的比例中项(即$\frac{a}{x}= \frac{x}{b}$),求线段$x$的长.

答案： 解:
(1)设$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}=k$,则$ a=3k,b=2k,c=6k $.$\because a + b + c = 22$,$\therefore 3k+2k+6k=22$.解得$ k=2 $.$\therefore a=3×2=6,b=2×2=4,c=6×2=12 $.
(2)$\because$ 线段$ x $是线段$ a,b $的比例中项(即$\frac{a}{x}=\frac{x}{b}$),$\therefore x^{2}=ab=6×4=24$.$\therefore x=2\sqrt{6}$或$ x=-2\sqrt{6} $(舍去).$\therefore$ 线段$ x $的长是$ 2\sqrt{6} $.

4. 如图,已知方格纸中每个小方格的边长均为$1$,试确定$\frac{AD}{AB},\frac{AE}{AC},\frac{DE}{BC}$之间的关系,并计算$\triangle ADE与\triangle ABC$的周长之比.

答案： 解:由题图可知$ AD=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2} $,$ AB= \sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2} $,$ AE=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3\sqrt{5} $,$ AC= \sqrt{4^{2}+8^{2}}=4\sqrt{5} $,$ DE=3 $,$ BC=4 $.$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{3}{4}$,$\frac{AE}{AC}=\frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{3}{4}$,$\frac{DE}{BC}=\frac{3}{4}$,$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$.$\therefore \triangle ADE$与$\triangle ABC$的周长之比为$\frac{AD+AE+DE}{AB+AC+BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$.