《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

10. 解方程$\frac{x}{x^2 - 1} + \frac{x^2 - 1}{3x} = \frac{4}{3}$时,设$y = \frac{x}{x^2 - 1}$,那么原方程可化成关于$y$的整式方程：$3y^{2}-4y+1=0$.

答案： $3y^{2}-4y+1=0$

11. 有一块长、宽分别为$8\ cm$、$6\ cm$的矩形薄铁片. 将铁片的四个角各裁去一个相同的小正方形,再折叠成一个无盖且底面积为$15\ cm^2$的长方体盒子. 若裁去的小正方形的边长为$x\ cm$,根据题意,可得方程$(8-2x)(6-2x)=15$.

答案： $(8-2x)(6-2x)=15$

12. 已知$a$,$b$,$c$均为有理数,关于$x的方程ax^2 - 3x - \sqrt{5}x + \sqrt{2}x^2 + c = b - 1$是不是一元二次方程？如果是,请写出它的二次项系数、一次项系数及常数项；如果不是,请说明理由.

答案： 解:是一元二次方程,它的二次项系数为$a+\sqrt {2}$,一次项系数为$-3-\sqrt {5}$,常数项为$c-b+1.$

13. 如图,要在一块长$22\ m$、宽$17\ m$的长方形地面上修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分种上草坪. 两条道路分别与长方形的一条边平行. 已知草坪的面积为$300\ m^2$,设道路的宽为$x\ m$,写出关于$x$的方程. 该方程是一元二次方程吗？如果是,把它化成一般形式；如果不是,请说明理由.

答案： 解:根据题意可得$(22-x)(17-x)=300$,它是一元二次方程,化成一般形式是$x^{2}-39x+74=0.$

14. 已知$a$,$b$,$c$为三角形的三边长,$ax^2 + bx(x - 1) = cx^2 - 2b是关于x$的一元二次方程吗？请说明理由.

答案： 解:是.理由如下:化简$ax^{2}+bx(x-1)=cx^{2}-2b$,得$(a+b-c)x^{2}-bx+2b=0.$$\because a,b,c$为三角形的三边长,$\therefore a+b＞c$,即$a+b-c＞0.$$\therefore ax^{2}+bx(x-1)=cx^{2}-2b$是关于$x$的一元二次方程.

15. 新定义：关于$x的一元二次方程m(x - a)^2 + b = 0与n(x - a)^2 + b = 0$称为“同类方程”. 如$2(x - 1)^2 + 3 = 0与6(x - 1)^2 + 3 = 0$是“同类方程”.
(1)若$2x^2 - 4x + p = 0与q(x - 1)^2 + 3 = 0$是“同类方程”,则$p = $5.
(2)关于$x的一元二次方程2(x - 1)^2 + 1 = 0与(a + 6)x^2 - (b - 8)x + 6 = 0$是“同类方程”,求$a和b$的值.
解:由条件可知$(a+6)x^{2}-(b-8)x+6=(a+6)(x-1)^{2}+1,$$\therefore (a+6)x^{2}-(b-8)x+6=(a+6)x^{2}-2(a+6)x+a+7.$$\therefore \left\{\begin{array}{l} b-8=2(a+6),\\ 6=a+7,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=18.\end{array}\right. $

答案：
(1)5
(2)解:由条件可知$(a+6)x^{2}-(b-8)x+6=(a+6)(x-1)^{2}+1,$$\therefore (a+6)x^{2}-(b-8)x+6=(a+6)x^{2}-2(a+6)x+a+7.$$\therefore \left\{\begin{array}{l} b-8=2(a+6),\\ 6=a+7,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=18.\end{array}\right. $