《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 12$,$AD = 10$,点 $P$ 在边 $AD$ 上,点 $Q$ 在边 $BC$ 上,且 $AP = CQ$,连接 $CP$,$QD$,则 $PC + QD$ 的最小值为26.

答案： 26

9. 如图,矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,点 $E$,$F$ 在 $BD$ 上,且 $BE = DF$.
(1) 求证：$AE = CF$.
(2) 若 $AB = 6$,$\angle COD = 60°$,求矩形 $ABCD$ 的面积.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,AB//CD.
∴∠ABE=∠CDF.
∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴AE=CF.
(2)解:
∵矩形ABCD中,OA=OB=OD,∠AOB=∠COD=60°,
∴△AOB为等边三角形,∠ADO=∠OAD=30°.
∵BD=12.
∴AD=6√3.
∴矩形ABCD的面积为AB·AD=36√3.

10. 如图,在 $□ ABCD$ 中,过点 $D$ 作 $DE \perp AB$ 于点 $E$,点 $F$ 在边 $CD$ 上,$CF = AE$,连接 $AF$,$BF$.
(1) 求证：四边形 $BFDE$ 是矩形.
(2) 已知 $\angle DAB = 60°$,$AF$ 是 $\angle DAB$ 的平分线,若 $AD = 6$,求 $□ ABCD$ 的面积.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC//AB,DC=AB.
∵CF=AE,
∴CD - CF=AB - AE,即DF=BE.又
∵DC//AB,
∴四边形BFDE是平行四边形.又
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°.
∴平行四边形BFDE是矩形.
(2)27√3.