《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

6. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C的对边分别为a$,$b$,$c$,$\angle C = 90^{\circ}$. 根据下列条件,求这个三角形的其他元素.
(1)已知$a = 8$,$\angle B = 60^{\circ}$；
(2)已知$\angle B = 45^{\circ}$,$b= \sqrt{6}$.

答案： 解:
(1)在Rt△ABC中,$\angle C=90^{\circ },\angle B=60^{\circ },a=8$$\therefore \angle A=90^{\circ }-\angle B=30^{\circ },b=a\tan B=8\sqrt{3}$.$\therefore c=2a=16$.故$\angle A=30^{\circ },b=8\sqrt{3},c=16$.
(2)在Rt△ABC中,$\angle C=90^{\circ },\angle B=45^{\circ },b=\sqrt{6}$$\therefore \angle A=90^{\circ }-\angle B=45^{\circ }$.$\therefore a=b=\sqrt{6},c=\frac{b}{\cos A}=2\sqrt{3}$.故$\angle A=45^{\circ },a=\sqrt{6},c=2\sqrt{3}$.

7. 在$\triangle ABC$中,$AB = 12$,$AC= \sqrt{39}$,$\angle B = 30^{\circ}$,则$\triangle ABC$的面积为$21\sqrt{3}$或$15\sqrt{3}$.

答案： $21\sqrt{3}$或$15\sqrt{3}$

8. 如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,点$D在AC$边上,$\angle DBC= \angle A$. 若$AC = 4$,$\cos A= \frac{4}{5}$,则$BD$的长度为(C)

A.$\frac{9}{4}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{15}{4}$
D.$4$

答案： C

9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$E为AB边上一点且AE = 4EB$,$EF\perp AC于点F$,连接$FB$,则$\tan\angle CFB = (D)$

A.$5\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{5\sqrt{3}}{3}$

答案： D

10. 如图,点$P在线段BC$上,$AB\perp BC$,$DP\perp AP$,$CD\perp DP$. 若$BC = 10$,$AB = 2$,$\tan C= \frac{1}{2}$,则$DP$的长是$\frac{6\sqrt{5}}{5}$.

答案： $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

11. 如图,已知在$\triangle ABD$中,$AC\perp BD$,$BC = 8$,$CD = 4$,$\cos\angle ABC= \frac{4}{5}$,$BF为AD$边上的中线.
(1)求$AC$的长；
(2)求$\tan\angle FBD$的值.

答案： 解:
(1)$\because AC\perp BD,\cos \angle ABC=\frac{4}{5}$$\therefore AB=\frac{BC}{\cos \angle ABC}=\frac{8}{\frac{4}{5}}=10$.$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=6$.
(2)过点F作FG⊥BD于点G.$\because BF$为AD边上的中线,$\therefore$点F是AD的中点.$\because FG\perp BD,AC\perp BD,\therefore FG// AC$.$\therefore CG=DG=2$,FG是△ACD的中位线.$\therefore FG=\frac{1}{2}AC=3$.$\therefore \tan \angle FBD=\frac{FG}{BG}=\frac{3}{8+2}=\frac{3}{10}$.