《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$,则下列结论中正确的有(B)
①$\triangle ABC \backsim \triangle ADE$；②$AC平分∠DAE$；③$∠AFB = ∠AGE$；④$∠ABF = ∠ADE$.

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： B

9. 如图,在$8 × 8$的正方形网格中,$\triangle CAB和\triangle DEF$的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上.
(1) 填空：$AC = $$2\sqrt{5}$,$AB = $$2\sqrt{10}$.
(2) 试判断：$\triangle CAB和\triangle DEF$是否相似？请说明理由.

(2)解:△CAB和△DEF相似.
理由如下:
∵ $DE=DF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$EF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,
∴ $\frac{AC}{ED}=\frac{BC}{FD}=\frac{AB}{EF}=2$.
∴ △CAB∽△DEF.

答案：
(1)$2\sqrt{5}$ $2\sqrt{10}$
(2)解:△CAB和△DEF相似.
理由如下:
∵ $DE=DF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$EF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,
∴ $\frac{AC}{ED}=\frac{BC}{FD}=\frac{AB}{EF}=2$.
∴ △CAB∽△DEF.

10. 如图,四边形$ABDC$,$CDFE$,$EFHG$都是正方形.
(1) $\triangle ADF与\triangle HDA$相似吗？为什么？
(2) $∠AFB + ∠AHB = 45^{\circ}$成立吗？说明理由.

答案：
(1)相似.
理由:设三个正方形的边长均为a,则
$AD=\sqrt{2}a$,DH=2a,
∴ $\frac{AD}{HD}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{DF}{DA}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵ $AF=\sqrt{5}a$,$HA=\sqrt{10}a$,
∴ $\frac{AF}{HA}=\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{10}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴ $\frac{AD}{HD}=\frac{DF}{DA}=\frac{AF}{HA}$.
∴ △ADF∽△HDA.
(2)成立.
∵ △ADF∽△HDA,
∴ ∠AHB=∠DAF.
∴ ∠AFB+∠AHB=∠AFB+∠DAF=∠ADB=45°.