《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

10. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x - a = 0$ 的两个根分别为 $x_{1},x_{2}$。若 $x_{1}= -1$,则 $a - x_{1}^{2}-x_{2}^{2}= $ -7。

答案： -7

11. 已知矩形的长和宽分别是方程 $x^{2}-26x + 61 = 0$ 的两个实数根,则这个矩形的面积为 61。

答案： 61

12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+6x - a = 0$ 的一个根是 $3$,另一个根是 $b$,则 $a + b= $ 18。

答案： 18

13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(m + 1)x + m = 0$。
(1)求证：该方程总有两个实数根。
(2)若方程有一根为 $-3$,求 $m$ 的值,并求出另一根。
(3)若方程的两个根为 $x_{1},x_{2}$,且满足 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= -\frac{1}{2}$,求 $m$ 的值。

答案：
(1)证明:$\because a=1$,$b=-(m+1)$,$c=m$,$\therefore b^{2}-4ac=[-(m+1)]^{2}-4m=(m-1)^{2}\geq0$.$\therefore$该方程总有两个实数根.
(2)解:把$x=-3$代入$x^{2}-(m+1)x+m=0$,得$9+3(m+1)+m=0$.解得$m=-3$.依题意有$x_{1}+x_{2}=m+1=-2$,$x_{1}=-3$,$\therefore x_{2}=1$.
(3)解:$\because x_{1}+x_{2}=m+1$,$x_{1}x_{2}=m$,$\therefore \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{m+1}{m}=-\frac{1}{2}$.解得$m=-\frac{2}{3}$.

14. 阅读材料,解答问题。
材料一：若实数 $a,b(a\neq b)$ 满足 $a^{2}+5a - 1 = 0,b^{2}+5b - 1 = 0$,则可将 $a,b$ 看作一元二次方程 $x^{2}+5x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根。
材料二：已知 $x^{2}+5x - 2 = 0$,求 $x-\frac{2}{x}$ 的值。
某同学的解答思路如下：
由 $x^{2}+5x - 2 = 0$ 可得 $x + 5-\frac{2}{x}= 0$,
$\therefore x-\frac{2}{x}= -5$。
(1)直接运用：已知实数 $a,b(a\neq b)$ 满足 $a^{2}-7a - 2 = 0,b^{2}-7b - 2 = 0$,求 $a + b - ab$ 的值。
(2)间接运用：已知实数 $m,n$ 满足 $3m^{2}-7m - 2 = 0,2n^{2}+7n - 3 = 0$,且 $mn\neq1$,求 $\frac{mn + 1}{mn + m + 1}$ 的值。

答案：
(1)$\because$实数$a$,$b(a\neq b)$满足$a^{2}-7a-2=0$,$b^{2}-7b-2=0$,$\therefore a+b=7$,$ab=-2$.$\therefore a+b-ab=7-(-2)=9$.
(2)$\because 2n^{2}+7n-3=0$,$\therefore n\neq0$.$\therefore 2+\frac{7}{n}-\frac{3}{n^{2}}=0$.$\therefore 3\left(\frac{1}{n}\right)^{2}-7\cdot\frac{1}{n}-2=0$.又$\because 3m^{2}-7m-2=0$,$mn\neq1$,即$m\neq\frac{1}{n}$,$\therefore m$,$\frac{1}{n}$是一元二次方程$3x^{2}-7x-2=0$的两个不相等的实数根.$\therefore m+\frac{1}{n}=\frac{7}{3}$,$\frac{m}{n}=-\frac{2}{3}$.$\therefore \frac{mn+1}{mn+m+1}=\frac{m+\frac{1}{n}}{m+\frac{m}{n}+\frac{1}{n}}=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3}-\frac{2}{3}}=\frac{7}{5}$.