《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

6. 下图是一水库大坝的横截面的一部分,坝高 $ h = 6 m $,迎水坡 $ AB = 10 m $,斜坡的坡角为 $ \alpha $,则该斜坡的坡度是(D)

A.$ \frac{3}{5} $
B.$ \frac{4}{5} $
C.$ \frac{4}{3} $
D.$ \frac{3}{4} $

答案： D

7. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90° $,如果把 $ Rt\triangle ABC $ 各边的长都缩小为原来的 $ \frac{1}{4} $,那么 $ \angle A $ 的正切值将(D)
A.缩小为原来的 $ \frac{1}{4} $
B.扩大为原来的 4 倍
C.缩小为原来的 $ \frac{1}{2} $
D.不变

答案： D

8. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ E $,$ F $ 分别是 $ AB $,$ AD $ 的中点. 若 $ EF = 6 $,$ BC = 13 $,$ CD = 5 $,则 $ \tan C $ 等于$\frac{12}{5}$.

答案： $\frac{12}{5}$

9. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 10 $,$ BC = 8 $,$ E $ 为 $ AD $ 边上一点,将 $ \triangle CDE $ 沿 $ CE $ 折叠,使点 $ D $ 恰好落在 $ AB $ 边上的点 $ F $ 处,则 $ \tan \angle AFE $ 的值为$\frac{3}{4}$.

答案： $\frac{3}{4}$

10. 如图,已知 $ \triangle ABC $,$ \tan B = \sqrt{3} $,$ \frac{AB}{BC} = \frac{3}{2} $,$ BC = 2\sqrt{3} $,求 $ AC $ 的长.

答案： 解:作CD⊥AB于点D.
∵tan B=$\frac{CD}{BD}$=$\sqrt{3}$,
BC=$2\sqrt{3}$,
∴BD=$\sqrt{3}$,CD=3.
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{2}$,
∴AB=$3\sqrt{3}$.
∴AD=AB - BD=$3\sqrt{3}$ - $\sqrt{3}$=$2\sqrt{3}$.
在Rt△ACD中,AC=$\sqrt{AD^2+CD^2}$=$\sqrt{(2\sqrt{3})^2+3^2}$=$\sqrt{21}$.

11. 某小区有一露天舞台,横截面如图所示. $ AC $ 垂直于地面,$ AB $ 表示楼梯,$ AE $ 为舞台面,楼梯 $ AB $ 的坡度为 1,坡长 $ AB = 3 m $. 为保障安全,该小区决定对该楼梯进行改造,降低坡度,拟修新楼梯 $ AD $,其坡度为 $ \frac{1}{2} $.
(1) $ AC $ 的长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m；
(2) 求 $ AD $ 的长.

∵新楼梯AD的坡度为$\frac{1}{2}$,AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m,∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{1}{2}$,∴CD=$3\sqrt{2}$m.由勾股定理,得AD=$\sqrt{AC^2+CD^2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$(m).

答案： $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
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∵新楼梯AD的坡度为$\frac{1}{2}$,AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m,
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{1}{2}$,
∴CD=$3\sqrt{2}$m.由勾股定理,得AD=$\sqrt{AC^2+CD^2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$(m).