《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC = 18 $,$ BC = 12 $. 正方形 $ DEFG $ 的顶点 $ E $,$ F $ 在 $ \triangle ABC $ 内,顶点 $ D $,$ G $ 分别在 $ AB $,$ AC $ 边上. 若 $ AD = AG $,$ DG = 6 $,求点 $ F $ 到 $ BC $ 边的距离.

答案：
解:过点A作AM⊥BC于点M,交DG于点N,延长GF交BC于点H.

∵AB=AC,AD=AG,
∴AD:AB=AG:AC.
∵∠BAC=∠DAG,
∴△ADG∽△ABC.
∴∠ADG=∠B.
∴DG//BC.
∵四边形DEFG是正方形,
∴FG⊥DG.
∴FH⊥BC,AN⊥DG.
∵AB=AC=18,BC=12,
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=6.
∴AM=$\sqrt{AB^2-BM^2}=12\sqrt{2}$.
∵△ADG∽△ABC,
∴$\frac{AN}{AM}=\frac{DG}{BC}$,即$\frac{AN}{12\sqrt{2}}=\frac{6}{12}$.
∴AN=$6\sqrt{2}$.
∴MN=AM-AN=$6\sqrt{2}$.
∴FH=MN-GF=$6\sqrt{2}-6$.

10. 从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.


(1) 如图1,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 48° $,$ CD $ 是 $ \triangle ABC $ 的完美分割线,且 $ AD = CD $,求 $ \angle ACB $ 的度数.
(2) 如图2,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC = 2 $,$ BC = \sqrt{2} $,$ CD $ 是 $ \triangle ABC $ 的完美分割线,且 $ \triangle ACD $ 是以 $ CD $ 为底边的等腰三角形,求完美分割线 $ CD $ 的长.

答案： 解:
(1)
∵AD=CD,
∴∠ACD=∠A=48°.
由题意知△BDC∽△BCA.
∴∠BCD=∠A=48°.
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
(2)由题意知AC=AD=2,
△BCD∽△BAC.
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$.设BD=x,
∴$(\sqrt{2})^2=x(x+2)$.
∵x＞0,
∴x=$\sqrt{3}-1$.
∵△BCD∽△BAC,
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$.
∴CD=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}×2=\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
∴完美分割线CD的长为$\sqrt{6}-\sqrt{2}$.