《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

切线的判定定理：如图 24.2 - 3,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

答案： 垂直

1. 如图 24.2 - 4,$\odot O$的半径 5,点$P$在圆外,点$A$在圆上,且$PO = 13$,$PA = 12$. 判断$PA与\odot O$的位置关系,并给出证明.

答案： 1. 解：PA 与圆 O 相切，理由如下：连接 OA，
∵OA = 5，PO = 13，PA = 12，
∴5² + 12² = 13²，即 OA² + PA² = PO²，
∴△AOP 为直角三角形，即∠OAP = 90°，
∴AP⊥OA，则 AP 为圆 O 的切线。

2. 如图 24.2 - 5,已知在$\triangle OAB$中,$OA = OB = 13$,$AB = 24$,$\odot O的半径长为r = 5$,判断直线$AB与\odot O$的位置关系,并说明理由.

答案： 2. 解：直线 AB 与⊙O 相切。理由如下：如图，作 OC⊥AB 于点 C，
∵OA = OB = 13，
∴AC = BC = $\frac{1}{2}$AB = 12，
∴OC = $\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}$ = 5。
∵⊙O 的半径为 5，
∴d = r，
∴直线 AB 与⊙O 相切。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

答案： 垂直

如图 24.2 - 6,$AB是\odot O$的切线,$A$为切点,连接$OA$,$OB$. 若$\angle B = 35^{\circ}$,则$\angle AOB$的度数为(B)

A.$65^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

答案： B

【例】 如图 24.2 - 7,点$O是\triangle ABC的边AC$上一点,以点$O$为圆心,$OA为半径作\odot O$,与$BC相切于点E$,交$AB于点D$,连接$OE$,连接$OD并延长交CB的延长线于点F$,$\angle AOD = \angle EOD$. 连接$AF$,求证：$AF是\odot O$的切线.
【点拨】 要想证明切线,只需证明垂直即可,根据全等直接找到等于$90^{\circ}$的角,进而推出.

答案： 证明：在△AOF 和△EOF 中，OA = OE，∠AOD = ∠EOD，OF = OF，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF = ∠OEF。
∵BC 与⊙O 相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF = ∠OEF = 90°，即 OA⊥AF。
∵OA 是⊙O 的半径，
∴AF 是⊙O 的切线。