《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

对于几何图形的实际问题,要结合实际情况先确定自变量的取值范围,再结合函数图象和性质求出最值。
如图,用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为 18 m。设矩形菜园的边 $ AB $ 的长为 $ x $ m,面积为 $ S $ $ m^2 $,其中 $ AD \geqslant AB $。有下列结论：
① $ x $ 的取值范围为 $ 5 \leqslant x \leqslant 10 $；
② $ AB $ 的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为 $ 100 $ $ m^2 $；
③矩形菜园 $ ABCD $ 的面积的最大值为 $ \frac{225}{2} $。其中,正确结论的个数是(B)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： B

实际问题中如果没有坐标系,可以根据需要先建立适当的坐标系,再利用待定系数法求出解析式,进而解决问题。
廊桥是我国古老的文化遗产,抛物线形的廊桥示意图如图所示。已知抛物线的函数表达式为 $ y = -\frac{1}{40}x^2 + 10 $,为增加安全性,在该抛物线上同一高度且水平距离为 8 m 的 $ C $,$ D $ 两处安装警示灯,则警示灯 $ D $ 距离水面 $ AB $ 的距离为(B)
A. 8.4 m
B. 9.6 m
C. 10.4 m
D. 11.6 m

答案： B

【例】 如图是某地一座抛物线形拱桥示意图,桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于 $ A $,$ B $ 两点,桥拱最高点 $ C $ 到 $ AB $ 的距离为 10 m,$ AB = 40 $ m,$ D $,$ E $ 为桥拱底部的两点,且 $ DE // AB $,点 $ E $ 到直线 $ AB $ 的距离为 10 m,则 $ DE $ 的长为______m。
【点拨】 要想求 $ DE $ 的长度,需要求出 $ D $ 和 $ E $ 点的坐标,因此要在图中先建立平面直角坐标系,以 $ DE $ 为 $ x $ 轴,$ DE $ 中点所在直线为 $ y $ 轴建立平面直角坐标系,设 $ AB $ 与 $ y $ 轴交于点 $ H $,求出 $ OC $ 的长,然后设该抛物线的解析式为 $ y = ax^2 + k $,根据题干条件求出 $ a $ 和 $ k $ 的值,再令 $ y = 0 $,求出 $ x $ 的值即可。

答案：
$40\sqrt{2}$【解析】设该抛物线的解析式为$y=ax^{2}+k$，根据题意，可得顶点$C(0，20)$，
∴抛物线$y=ax^{2}+20$，代入点（20，10），
∴$10=400a+20$，
∴$400a=-10$，
∴$a=-\frac{1}{40}$，
∴抛物线$y=-\frac{1}{40}x^{2}+20$，当$y=0$时，$0=-\frac{1}{40}x^{2}+20$，
∴$E（20\sqrt{2}，0）$，$D(-20\sqrt{2}，0)$，
∴$OE=OD=20\sqrt{2}$m，
∴$DE=OD+OE=20\sqrt{2}+20\sqrt{2}=40\sqrt{2}$（m）.