《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

1. 下列方程是一元二次方程的是(D)
A.$x+\frac{1}{x}= 1$
B.$x^{2}+3= (x - 1)^{2}$
C.$x^{2}= y$
D.$x^{2}-1 = 0$

答案： 1. D

2. 方程$3x^{2}= 5$的二次项系数是3,一次项系数是0,常数项是-5.

答案： 2. 3 0 -5

3. 已知方程$x^{2}+mx + 2 = 1的一个根是1$,则$m$的值为-2.

答案： 3. -2

4. 如图,矩形空地的长为$12m$,宽为$9m$,将此空地的长、宽各增加相同的长度后,空地面积增加了$72m^{2}$,设空地的长、宽增加的长度为$x m$,可列方程为(12+x)(9+x)=12×9+72.

答案： 4. (12+x)(9+x)=12×9+72

5. 已知关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0$($a\neq0$).
(1) 如果方程有一个根是$1$,那么$a$,$b$,$c$之间有什么关系？
(2) 如果方程有一个根是$-1$,那么$a$,$b$,$c$之间有什么关系？
(3) 如果方程有一个根是$0$,那么方程的系数或常数项有什么特征？

答案： 5. 解：（1）将 x=1 代入原方程，得 a×1+b×1+c=0，即 a+b+c=0.
（2）将 x=-1 代入原方程，得 a×(-1)²+b×(-1)+c=0，即 a-b+c=0.
（3）将 x=0 代入原方程，得 a×0+b×0+c=0，
∴c=0.

6. 根据下列问题列出方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
(1) 如果一个直角三角形的两条直角边长之和为$14cm$,面积为$24cm^{2}$,求它的两条直角边的长.
(2) 古算趣题：“笨伯执竿要进屋,无奈门框拦住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭. 有个邻居聪明者,教他斜竿对两角,笨伯依言试一试,不多不少刚抵足. 借问竿长多少数,谁人算出我佩服.”其大意是：笨伯拿竹竿进屋(屋门为矩形门框),横拿竖拿都进不去,横着比门宽$4$尺,竖着比门高$2$尺. 他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿,笨伯一试,刚好进去. 问：竹竿有多少尺？

答案： 6. 解：（1）设这个三角形其中一条直角边长为 x cm，另一条直角边为（14-x）cm，由题意得 $\frac{1}{2}x(14-x)=24$，化简，可得 x²-14x+48=0.
（2）设竿长为 x 尺，由题意，得 (x-2)²+(x-4)²=x². 化简可得 x²-12x+20=0.