《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

7. 定义：如果关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0$($a\neq0$)满足$b = a + c$,那么我们称这个方程为“完美方程”.
(1) 下面方程是“完美方程”的是______.(填序号)
①$x^{2}+3x - 4 = 0$；
②$2x^{2}-x - 3 = 0$；
③$3x^{2}+x - 2 = 0$.
(2) 已知$-\frac{1}{2}x^{2}+(m + 1)x + n = 0是关于x$的“完美方程”,
①求$m与n$的关系；
②若$n$是此“完美方程”的一个根,则下列哪些数是$n$的值：$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$.
(1) ②③
(2) ①$m=-\frac{3}{2}+n$
②$-1$，$0$

答案： 7. 解：（1）②③
（2）①
∵$-\frac{1}{2}x^{2}+(m+1)x+n=0$ 是关于 x 的“完美方程”，
∴$m+1=-\frac{1}{2}+n$，
∴$m=-\frac{3}{2}+n$. ②
∵n 是此“完美方程”的一个根，
∴$-\frac{1}{2}n^{2}+(-\frac{3}{2}+n+1)\cdot n+n=0$，n²+n=0，
答案
把 0，-1 代入此方程成立，所以 n 的值为 0 或-1.

8. (2021·黑龙江)关于$x的一元二次方程(m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5$化为一般形式后不含一次项,则$m$的值为(D)
A.$0$
B.$\pm3$
C.$3$
D.$-3$

答案： 8. D

9. (2022·连云港)若关于$x的一元二次方程mx^{2}+nx - 1 = 0$($m\neq0$)的一个根是$x = 1$,则$m + n$的值是1.

答案： 9. 1

10. (2023·枣庄)若$x = 3是关于x的方程ax^{2}-bx = 6$的解,则$2023-6a + 2b$的值为2019.

答案： 10. 2019