《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

【知识点 1】二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象
在同一坐标系中画出 $ y_1 = 2x^2 $,$ y_2 = -2x^2 $,$ y_3 = \frac{1}{2}x^2 $ 的图象,正确的是(D)

答案： D

【知识点 2】二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象的性质

关于二次函数 $ y = 2x^2 $,下列说法正确的是(B)
A. 图象开口方向是向下
B. 当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C. 对称轴是直线 $ x = 2 $
D. 当 $ x = 0 $ 时,$ y $ 有最大值,最大值是 $ 0 $

答案： B

【例】 已知一个二次函数,它的对称轴是 $ y $ 轴,顶点是原点,且经过点 $ (1, -3) $。
(1) 求出这个二次函数的解析式。
(2) 图象在对称轴右侧部分,$ y $ 随 $ x $ 的增大怎样变化？
(3) 指出这个函数是有最大值还是有最小值,并求出这个值。
【点拨】 要想求出解析式,可以根据此二次函数图象的性质直接设 $ y = ax^2 $,把点 $ (1, -3) $ 代入即可,再根据求得 $ a $ 的正负可判断其增减性并且求出其最值。

答案： 解：（1）
∵抛物线对称轴是 y 轴，顶点是原点，可设 y=ax²(a≠0)，把点（1，-3）代入，得 a=-3，y=-3x².
（2）
∵a=-3＜0，
∴在对称轴右侧部分，y 随 x 的增大而减小.
（3）
∵a=-3＜0，
∴函数有最大值，即当 x=0 时，函数最大值为 0.