《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

- 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 正多边形的中心角 = $\frac{360°}{n}$.

答案： 圆心 半径 圆心角 距离 $\frac{360°}{n}$

- 1. 一个圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角为 $72^{\circ}$,则该正多边形的边数是(B)
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$

答案： B

- 2. 如图 24.3 - 1,正六边形 $ABCDEF$ 内接于$\odot O$,$\odot O$ 的半径为 $2$,则边心距 $OM$ 的长为(A)

A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2\sqrt{3}$

答案： A

- 【例】如图 24.3 - 2,正六边形 $ABCDEF$ 内接于$\odot O$.
(1) 若 $P$ 是$\widehat{CD}$上的动点,连接 $BP$,$FP$,求$\angle BPF$ 的度数.
(2) 已知$\triangle ADF$ 的面积为 $2\sqrt{3}$.
①求$\angle DAF$ 的度数；
②求$\odot O$ 的半径.
- 【点拨】要想求$\angle BPF$,就需要求正六边形的中心角,再根据圆周角和圆心角的关系求解即可. 求$\odot O$ 的半径,就是要找到直角三角形,借助勾股定理求解,只需要证明直角即可.

答案：
解：（1）如图所示，在$\widehat{CD}$取一点P，连接BP，AP，FP，FO，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB，$\angle AOF=\frac{360°}{6}=60°$，
∴$\angle APF=\frac{1}{2}\angle AOF=30°$．
∵AF=AB，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AF}$，
∴$\angle APB=\angle APF=30°$，
∴$\angle BPF=\angle APB+\angle APF=60°$．

（2）①
∵$\angle AOF=60°$，AO=FO，
∴$\triangle AOF$是等边三角形，
∴$\angle DAF=60°$．②
∵$\angle DAF=60°$，$\angle ADF=\angle APF=30°$，
∴$\angle AFD=180° - \angle DAF - \angle ADF=90°$．在Rt$\triangle AFD$中，根据勾股定理$AD^2=AF^2+FD^2$，AD=2AF，
∴$DF=\sqrt{3}AF$，
∴$S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}AF\cdot DF=\frac{\sqrt{3}}{2}AF^2=2\sqrt{3}$，
∴AF=2，
∴AO=AF=2，即$\odot O$的半径为2．

- 1. 如图,已知$\odot O$ 的内接正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$,则$\odot O$ 的半径为(B)
A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\frac{1}{2}$

答案： B