《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

4. 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$,以$C$为圆心,$r为半径作\odot C$.
(1)若$\odot C与斜边AB$相切,则$r$的值为______.
(2)若$\odot C与斜边AB$有两个公共点,求$r$的取值范围.
(3)若$\odot C与斜边AB$有且只有一个公共点,则$r$的取值范围是______.

答案：
（1）2.4
（2）由（1）知，当 $\odot C$ 与斜边 AB 相切时，$r = 2.4$，$\because \odot C$ 与斜边 AB 有两个公共点，$\therefore r$ 的取值范围是 $2.4 ＜ r \leq 3$.

（3）$\because \odot C$ 与斜边 AB 有且只有一个公共点，$\therefore r$ 的取值范围是 $3 ＜ r \leq 4$ 或 $r = 2.4$. 故答案为 $3 ＜ r \leq 4$ 或 $r = 2.4$.

5. 已知平面内有$\odot O和点A$,$B$,若$\odot O半径为2\mathrm{cm}$,线段$OA = 3\mathrm{cm}$,$OB = 2\mathrm{cm}$,则直线$AB与\odot O$的位置关系为(D)
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切

答案： D

6. 如图,两个同心圆,大圆的半径为$5$,小圆的半径为$3$,若大圆的弦$AB$与小圆有公共点,则弦$AB$的取值范围是$8 \leq AB \leq 10$.

答案： $8 \leq AB \leq 10$

7. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$AB = 10$,$AD = m$,$\angle D = 60^{\circ}$,以$AB为直径作\odot O$.
(1)求圆心$O到BC$的距离.
(2)求圆心$O到CD$的距离(用含$m$的代数式来表示).
(3)当$m$取何值时,$CD与\odot O$相切.
(4)当$m$取何值时,$CD$与圆有两个交点.

答案：
（1）过点 O 作 $OH \perp BC$ 于点 H，$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，$\therefore \angle B = \angle D = 60°$. $\because AB = 10$，$\therefore OB = 5$，$\therefore \angle BOH = 30°$，$\therefore BH = \frac{1}{2}OB = \frac{5}{2}$. 在 $Rt\triangle OBH$ 中，根据勾股定理，得 $OH = \sqrt{BO^2 - BH^2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\therefore$ 圆心 O 到 BC 的距离为 $\frac{5\sqrt{3}}{2}$.
（2）分别过 A，O 两点作 $AE \perp CD$，$OF \perp CD$，垂足分别为点 E、点 F，$\therefore AE // OF$，OF 就是圆心 O 到 CD 的距离. $\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，$\therefore AB // CD$，$\therefore AE = OF$. $\because$ 在 $Rt\triangle ADE$ 中，$\angle D = 60°$，$\angle DAE = 30°$，$\therefore DE = \frac{1}{2}AD = \frac{m}{2}$，$\therefore$ 根据勾股定理，得 $AE = \sqrt{AD^2 - DE^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}m$，$\therefore OF = AE = \frac{\sqrt{3}}{2}m$，$\therefore$ 圆心到 CD 的距离 OF 为 $\frac{\sqrt{3}}{2}m$.

（3）$\because OF = \frac{\sqrt{3}}{2}m$，AB 为 $\odot O$ 的直径，且 $AB = 10$，$\therefore$ 当 $OF = 5$ 时，CD 与 $\odot O$ 相切于点 F，即 $\frac{\sqrt{3}}{2}m = 5$，$m = \frac{10\sqrt{3}}{3}$，$\therefore$ 当 $m = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ 时，CD 与 $\odot O$ 相切.
（4）若 $\odot O$ 与线段 CD 有两个公共点，则该圆和线段 CD 相交，则 $5 \leq m ＜ \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

8. (2023·宿迁)在同一平面内,已知$\odot O的半径为2$,圆心$O到直线l的距离为3$,点$P$为圆上的一个动点,则点$P到直线l$的最大距离是(B)
A.$2$
B.$5$
C.$6$
D.$8$

答案： B