《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

1. 方程 $(x - 1)(x - 2) = 0$ 的根是$x_{1}=1$，$x_{2}=2$.

答案： $x_{1}=1$，$x_{2}=2$

2. 下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是(B)
A.$(x - 2)(x + 5) = 2$
B.$2x^2 - x = 0$
C.$x^2 + 5x - 2 = 0$
D.$12(2 - x)^2 = 3$

答案： B

【例】用因式分解法解方程：$x(2x - 5) = 4x - 10$.
【点拨】如果一个一元二次方程通过因式分解转化成 $A \cdot B = 0$ 的形式,那么就有 $A = 0$ 或 $B = 0$,从而实现降次.

答案： 解：因式分解，得 $x(2x-5)=2(2x-5)$. 移项，得 $x(2x-5)-2(2x-5)=0$. 因式分解，得 $(x-2)(2x-5)=0$，$\therefore x-2=0$ 或 $2x-5=0$，解得 $x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{5}{2}$.

1. 方程 $x^2 = 3x$ 的解是(D)
A.$x = 3$
B.$x = 0$
C.$x_1 = \sqrt{3}$,$x_2 = 0$
D.$x_1 = 3$,$x_2 = 0$

答案： D

2. 已知一元二次方程的两根分别为 $x_1 = 3$,$x_2 = - 4$,则这个方程可能是(A)
A.$(x - 3)(x + 4) = 0$
B.$(x + 3)(x - 4) = 0$
C.$(x + 3)(x + 4) = 0$
D.$(x - 3)(x - 4) = 0$

答案： A

3. 嘉嘉在解方程 $x(x - 3) = x - 3$ 时,只得到一个解是 $x = 1$,则他漏掉的解是(A)
A.$x = 3$
B.$x = - 3$
C.$x = 0$
D.$x = - 1$

答案： A

4. 方程 $(x + 1)(x - 2) = x + 1$ 的根是$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$.

答案： $x_{1}=-1$，$x_{2}=3$

5. 一个三角形的两边长为 4 和 6,第三边的边长是方程 $(x - 2)(x - 5) = 0$ 的根,则这个三角形的周长为15.

答案： 15

6. 用因式分解法解下列方程：
(1) $3x^2 = 4x$；
(2) $4x^2 - 4x + 1 = 0$；
(3) $3x(x - 2) = x - 2$；
(4) $3x^2 + x = 3x + 1$；
(5) $(2x - 1)^2 = (3 - x)^2$.

答案： 解：（1）$3x^{2}-4x=0$，$x(3x-4)=0$，$x=0$ 或 $(3x-4)=0$，$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{4}{3}$.
（2）$(2x-1)^{2}=0$，$2x-1=0$，$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$.
（3）$3x(x-2)-(x-2)=0$，$(x-2)(3x-1)=0$，$x-2=0$或$3x-1=0$，$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{3}$.
（4）$x(3x+1)-(3x+1)=0$，$(3x+1)(x-1)=0$，$3x+1=0$或$x-1=0$，$x_{1}=-\frac{1}{3}$，$x_{2}=1$.
（5）$(2x-1)^{2}=(3-x)^{2}$，$(2x-1)^{2}-(3-x)^{2}=0$，$(2x-1+3-x)(2x-1-3+x)=0$，$2x-1+3-x=0$或$2x-1-3+x=0$，$x_{1}=-2$，$x_{2}=\frac{4}{3}$.