《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

4. 已知关于 $ x $ 的函数 $ y= (m^{2}-m)x^{2}+(m - 1)x - 2 $($ m $ 为常数)。
(1) 若此函数是一次函数,求 $ m $ 的值。
(2) 若此函数是二次函数,求 $ m $ 的值。

答案： 解：（1）依题意 $m^{2}-m=0$ 且 $m-1\neq 0$，
∴m=0.
（2）依题意 $m^{2}-m\neq 0$，
∴$m\neq 1$ 且 $m\neq 0$.

5. 正方形的边长为 $ 4 $,当边长增加 $ x $ 时,面积增加 $ y $,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式。这个函数是二次函数吗？

答案： 解：由题意，得 $(x+4)^{2}=y+4^{2}$，整理，得 $y=x^{2}+8x$，故 y 是 x 的二次函数.

6. 如图所示,圆柱的高为 $ 10\mathrm{cm} $,圆柱的底面直径为 $ x\mathrm{cm} $,圆柱的表面积为 $ S\mathrm{cm}^{2} $。
(1) 求圆柱的表面积 $ S $ 与圆柱的底面直径 $ x $ 之间的函数关系式,并判断这个函数是否为二次函数。
(2) 当圆柱的底面直径从 $ 4\mathrm{cm} $ 增加到 $ 10\mathrm{cm} $ 时,圆柱的表面积增加了多少(最后结果保留 $ \pi $)？

答案： 解：（1）由题意，得圆柱的表面积 $S=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi \cdot \frac{x}{2}\cdot 10+2\pi \cdot (\frac{x}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi x^{2}+10\pi x$，
∴圆柱的表面积 S 与圆柱的底面直径 x 之间的函数关系式为 $S=\frac{1}{2}\pi x^{2}+10\pi x$.
∵$\frac{1}{2}\pi \neq 0$，
∴函数 $S=\frac{1}{2}\pi x^{2}+10\pi x$ 是二次函数.
（2）
∵$\frac{1}{2}\pi × 10^{2}+10\pi × 10-\frac{1}{2}\pi × 4^{2}-10\pi × 4=150\pi -48\pi =102\pi$（$cm^{2}$），
∴圆柱的表面积增加了 $102\pi cm^{2}$.

7. (2023·沈阳)圆的面积公式 $ S= \pi R^{2} $ 中,$ S $ 与 $ R $ 之间的关系是(C)
A.$ S $ 是 $ R $ 的正比例函数
B.$ S $ 是 $ R $ 的一次函数
C.$ S $ 是 $ R $ 的二次函数
D.以上答案都不对

答案： C