《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

3. 下列函数表达式中，$x$均为自变量，哪些是反比例函数？若是反比例函数，请你指出相应的$k$值.
（1）$y = \frac{x}{2}$；（2）$y = -\frac{\sqrt{2}}{x}$；（3）$y = -\frac{1}{2\pi x}$；（4）$y = x^2 - 1$；（5）$y = -\frac{3}{2x}$；（6）$y = \frac{1}{x} + 3$；（7）$y = x - 4$.

答案： 解：（1）$y=\frac{x}{2}$是正比例函数.
（2）$y=-\frac{\sqrt{2}}{x}$是反比例函数，$k=-\sqrt{2}$.
（3）$y=-\frac{1}{2\pi x}$是反比例函数，$k=-\frac{1}{2\pi}$.
（4）$y=x^{2}-1$是二次函数.
（5）$y=-\frac{3}{2x}$是反比例函数，$k=-\frac{3}{2}$.
（6）$y=\frac{1}{x}+3$是复合函数.
（7）$y=x-4$是一次函数，不符合题意.

4. 写出下列问题中两个变量之间的函数解析式，并判断其是否为反比例函数.
（1）一段铁路全程为$1463\ km$，某列车平均速度$v$（单位：$km/h$）与全程运行时间$t$（单位：$h$）之间的关系.
（2）等边三角形的周长$y$与边长$x$之间的关系.
（3）某小区要种植一块面积为$1000\ m^2$的矩形草坪，草坪长$y$（单位：$m$）与宽$x$（单位：$m$）之间的关系.
（4）工作效率$p$一定，工作总量$m$与工作时间$t$之间的关系.

答案： 解：（1）$v=\frac{1463}{t}$，v 是 t 的反比例函数.
（2）$y=3x$，y 不是 x 的反比例函数.
（3）$y=\frac{1000}{x}$，y 是 x 的反比例函数.
（4）$m=pt$，m 不是 t 的反比例函数.

5. 在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为$7.5\ cm$时，它的另一边长为$8\ cm$.
（1）设矩形相邻的两边长分别为$x\ cm$，$y\ cm$，求$y$关于$x$的函数解析式. 这个函数是反比例函数吗？如果是，指出其比例系数.
（2）若其中一个矩形的一条边长为$5\ cm$，求这个矩形与之相邻的另一边长.

答案： 解：（1）设矩形的面积为$S\space cm^{2}$，则$S=7.5×8=60$，即$xy=60$，$y=\frac{60}{x}$，即 y 关于 x 的函数解析式是$y=\frac{60}{x}$，这个函数是反比例函数，系数为 60.
（2）当$x=5$时，$y=\frac{60}{x}=12$，故这个矩形与之相邻的另一边长为 12.