《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

8. 等腰三角形的一边长是 $3$,另两边的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x + k = 0$ 的两个根,则三角形的周长为(D)
A.$7$ 或 $8$
B.$8$
C.$15$
D.$7$

答案： D

9. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(m + 3)x + 2 + m = 0$。
(1)求证：对于任意实数 $m$,该方程总有实数根。
(2)若这个一元二次方程的一个根大于 $2$,求 $m$ 的取值范围。

答案： （1）证明：
∵关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+3)x+2+m=0$，$a=1$，$b=-(m+3)$，$c=2+m$，
∴$\Delta=b^2-4ac=[-(m+3)]^2-4×1×(2+m)=(m+1)^2\geq0$，对于任意实数$m$，该方程总有实数根.
（2）解：设方程的两个实数根为$x_1$，$x_2$，
∵$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{m+3\pm(m+1)}{2}$，
∴$x_1=m+2$，$x_2=1$.
∵这个一元二次方程的一个根大于 2，
∴$m+2＞2$，解得$m＞0$，
∴$m$的取值范围为$m＞0$.

10. (2024·北京)若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x + c = 0$ 有两个相等的实数根,则实数 $c$ 的值为(C)
A.$-16$
B.$-4$
C.$4$
D.$16$

答案： C

11. (2024·泰安)关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}-3x + k = 0$ 有实数根,则实数 $k$ 的取值范围是(B)
A.$k＜\frac{9}{8}$
B.$k\leqslant\frac{9}{8}$
C.$k\geqslant\frac{9}{8}$
D.$k＜-\frac{9}{8}$

答案： B

12. (2024·济南)若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-x - m = 0$ 有两个不相等的实数根,则实数 $m$ 的取值范围是(B)
A.$m＜-\frac{1}{4}$
B.$m＞-\frac{1}{4}$
C.$m＜-4$
D.$m＞-4$

答案： B

13. (2024·上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是(D)
A.$x^{2}-6x = 0$
B.$x^{2}-9 = 0$
C.$x^{2}-6x + 6 = 0$
D.$x^{2}-6x + 9 = 0$

答案： D