《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

6. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1 = ax + b(a \neq 0)的图象与y轴相交于点A$,与反比例函数$y_2 = \frac{k}{x}(k \neq 0)的图象相交于点B(3, 2)$,$C(-1, n)$。
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式。
(2) 根据图象,直接写出$y_1 ＞ y_2时x$的取值范围。

答案： 解：（1）将点$B(3,2)$代入$y_{2}=\frac{k}{x}(k\neq0)$，得$k = 3×2 = 6$，则$y_{2}=\frac{6}{x}$，当$x = - 1$时，$y_{2}=-6$，则点$C(-1,-6)$，将点$B(3,2)$，$C(-1,-6)$代入$y_{1}=ax + b$，得$\begin{cases}3a + b = 2\\-a + b = - 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = - 4\end{cases}$，
∴$y_{1}=2x - 4$．
（2）由函数图象，知当$y_{1}＞y_{2}$时，x的取值范围为$-1＜x＜0$或$x＞3$．

7. 小明在学习过程中遇到了一个函数$y = \frac{4}{x - 2} + 1$,小明根据学习反比例函数$y = \frac{4}{x}$的经验,对函数$y = \frac{4}{x - 2} + 1$的图象和性质进行了探究。
(1) 画函数图象：函数$y = \frac{4}{x - 2} + 1$的自变量的取值范围是$x\neq2$。

①列表：如表。
②描点：点已描出,如图所示。
③连线：请你根据描出的点,画出该函数的图象。
(2) 探究性质：根据反比例函数$y = \frac{4}{x}$的图象和性质,结合画出的函数$y = \frac{4}{x - 2} + 1$图象,回答下列问题。
①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性,其对称中心的坐标是$(2,1)$；
②该函数图象可以看成是由$y = \frac{4}{x}$的图象平移得到的,其平移方式为向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度；
③结合函数图象,请直接写出$\frac{4}{x - 2} + 1 \geq -1时x$的取值范围$x\leq0$或$x＞2$。

答案： （1）$x\neq2$
（2）①$(2,1)$ ②向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度 ③$x\leq0$或$x＞2$