《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

【知识点】 会求二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的最大值和最小值
一般地,二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 可以通过配方化成 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式,即 $ y = ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} $。若 $ a ＞ 0 $,当 $ x = -\frac{b}{2a} $ 时, $ y_{最小值} = \frac{4ac - b^2}{4a} $；若 $ a ＜ 0 $,当 $ x = -\frac{b}{2a} $ 时, $ y_{最大值} = \frac{4ac - b^2}{4a} $。
已知二次函数的图象 $ (0 \leq x \leq 4) $ 如图,关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是(A)
A. 有最大值 $ 2 $,有最小值 $ -2.5 $
B. 有最大值 $ 2 $,有最小值 $ 1.5 $
C. 有最大值 $ 1.5 $,有最小值 $ -2.5 $
D. 有最大值 $ 2 $,无最小值

答案： A

【例】 如图,点 $ A(-1, 0) $, $ B(2, -3) $ 都在二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3 $ 的图象上。
(1) 求 $ a $, $ b $ 的值。
(2) 若二次函数的图象经过点 $ (-2, y_1) $, $ (0, y_2) $, $ \left(\frac{5}{2}, y_3\right) $,比较 $ y_1 $, $ y_2 $, $ y_3 $ 的大小,并简述理由。
【点拨】 利用待定系数法和数形结合法是解答本题的关键。先利用待定系数法求得抛物线的解析式,进而得到对称轴,再利用二次函数图象的性质和抛物线上点的坐标的特征解答,即可得出结论。

答案： 解：
(1)
∵点A(−1,0)，B(2,−3)都在二次函数y=ax²+bx−3的图象上，
∴$\begin{cases} a-b-3=0, \\ 4a+2b-3=-3, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ b=-2, \end{cases}$
∴a=1，b=−2.
(2)
∵a=1，b=−2，
∴y=x²−2x−3=(x−1)²−4，
∴对称轴为直线x=1.
∵a=1＞0，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，又
∵(−2,y₁)关于对称轴的对称点为(4,y₁)，(0,y₂)关于对称轴的对称点为(2,y₂)，
∵2＜$\frac{5}{2}$＜4，
∴y₂＜y₃＜y₁.