《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

若二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象经过点 $ (-1,0) $,$ (2,0) $,则关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的解为(A)
A.$ x_{1}= -1 $,$ x_{2}= 2 $
B.$ x_{1}= -2 $,$ x_{2}= 1 $
C.$ x_{1}= 1 $,$ x_{2}= 2 $
D.$ x_{1}= -1 $,$ x_{2}= -2 $

答案： A

二次函数 $ y = x^{2}-2x + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴的交点个数是(B)
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.不能确定

答案： B

【例】 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的部分图象如图所示,可知方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的一个根为 $ x = 5 $,则方程的另一个根为(A)

A.$ x= -1 $
B.$ x = 0 $
C.$ x = 1 $
D.$ x = 2 $

【点拨】 若想确定方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的另一个根,可以利用抛物线的对称性得到抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点坐标即可,因为抛物线的对称轴为直线 $ x = 2 $,抛物线与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (5,0) $,则抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点坐标为 $ (-1,0) $,$ \therefore $ 方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的根为 $ x_{1}= -1 $,$ x_{2}= 5 $,即方程的另一个根为 $ -1 $。

答案： A

1. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $($ a \neq 0 $)的两个根分别是 $ x_{1}= -4 $,$ x_{2}= 2 $,则二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 与 $ x $ 轴的交点是(-4, 0), (2, 0)。

答案： 1. (-4, 0), (2, 0)

2. 对于二次函数 $ y = x^{2}-4x + 5 $ 的图象,下列说法正确的是(D)
A.开口向下
B.对称轴是直线 $ x= -2 $
C.与 $ x $ 轴有两个交点
D.顶点坐标是 $ (2,1) $

答案： 2. D