《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

2022 年的卡塔尔世界杯受到广泛关注,在半决赛中,一球员的一脚射门使足球沿着抛物线飞向球门,此时,足球距离地面的高度 $ h $ 与足球被踢出后经过的时间 $ t $ 之间的关系式为 $ h= -t^{2}+bt $. 已知足球被踢出 $ 9 \, s $ 时落地,那么足球到达距离地面最大高度时的时间 $ t $ 为(D)
A.$ 3 \, s $
B.$ 3.5 \, s $
C.$ 4 \, s $
D.$ 4.5 \, s $

答案： D

2023 年第 19 届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售. 某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装,每盒进价为 30 元. 当地物价部门规定,该礼盒销售单价最高不能超过 50 元/盒. 在销售过程中发现该礼盒每周的销量 $ y $(件)与销售单价 $ x $(元)之间近似满足函数关系：$ y= -2x+180 \, (30 \leq x \leq 50) $.
(1) 设该网店每周销售该礼盒所获利润为 $ w $(元),求 $ w $ 与 $ x $ 的函数关系式.
(2) 求该网店每周销售该礼盒所获最大利润.

答案： （1）该网店每周销售该礼盒所获利润为w=(x-30)(-2x+180)，
∴w=-2x²+240x-5400.
（2）由题意，
∵w=-2x²+240x-5400=-2(x²-120x+3600)+1800=-2(x-60)²+1800，又30≤x≤50，抛物线开口向下，对称轴是直线x=60，
∴当x=50时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大，最大利润为-2(50-60)²+1800=1600（元）.

【例】 随着某市近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高. 某园林专业户计划投资种植树木及花卉,根据市场调查与预测,种植树木的利润 $ y_{1} $ 与投资量 $ x $ 成正比例关系,如图 1 所示. 种植花卉的利润 $ y_{2} $ 与投资量 $ x $ 成二次函数关系,如图 2 所示.(注：利润与投资量的单位：万元)
(1) 分别求出利润 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 关于投资量 $ x $ 的函数关系式.
(2) 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植树木和花卉,他至少能获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
【点拨】 本题可先根据图象利用待定系数法求解函数解析式,掌握函数的图象的特点是解决本题的关键,根据总利润= 树木利润+花卉利润,列出函数关系式,再求函数的最值.
图 22.3 - 1

答案： （1）设y₁=kx，
∵函数y₁=kx的图象过（1，2），
∴k=2，故利润y₁关于投资量x的函数关系式是y₁=2x（x≥0）.
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y₂=ax².又
∵函数y₂=ax²的图象过（2，2），
∴2=a·2²，解得a=1/2，故利润y₂关于投资量x的函数关系式是y=1/2x²（x≥0）.
（2）设这位专业户投入x万元（0≤x≤8）种植花卉，则投入（8-x）万元种植树木，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2(8-x)+1/2x²=1/2x²-2x+16=1/2(x-2)²+14.
∵1/2＞0，
∴当x=2时，z的最小值是14.
∵当0≤x≤2时，z随x的增大而减小；当2＜x≤8时，z随x的增大而增大.
∵0≤x≤8，
∴当x=8时，z有最大值，最大值为32.答：他至少能获得14万元的利润，他能获取的最大利润是32万元.