《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

在正比例函数 $ y = kx $ 中,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则二次函数 $ y = k(x - 1)^2 $ 的图象大致是(B)

答案： B

【知识点 2】二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的性质

抛物线 $ y = 2(x - 1)^2 $ 过 $ (-2, y_1) $,$ (0, y_2) $,$ \left( \dfrac{5}{2}, y_3 \right) $ 三点,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系是(D)
A.$ y_2 ＞ y_3 ＞ y_1 $
B.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
C.$ y_2 ＞ y_1 ＞ y_3 $
D.$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $

答案： D

【例】已知抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的对称轴为直线 $ x = -2 $,且过点 $ (1, -3) $.
(1) 求抛物线对应的函数表达式.
(2) 写出抛物线的开口方向及顶点坐标.
【点拨】若想求得抛物线解析式,可以由对称轴求得 $ h $ 的值,再把 $ (1, -3) $ 代入求得 $ a $ 的值,再直接根据抛物线解析式写出顶点坐标即可.

答案： （1）
∵抛物线$y=a(x - h)^2$的对称轴是直线$x = - 2$，
∴$h = - 2$，
∴抛物线解析式为$y = a(x + 2)^2$.
∵抛物线过（1，-3），
∴$-3 = 9a$，解得$a = -\frac{1}{3}$，
∴抛物线解析式为$y = -\frac{1}{3}(x + 2)^2$.
（2）
∵抛物线为$y = -\frac{1}{3}(x + 2)^2$，
∴抛物线的开口向下，顶点为（-2，0）.