《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

【例】如图所示,一个矩形的长为 $ 4\mathrm{cm} $,宽为 $ 3\mathrm{cm} $,如果将这个矩形的长与宽都增加 $ x\mathrm{cm} $,那么这个矩形的面积增加 $ y\mathrm{cm}^{2} $。
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式。
(2) 这个函数是二次函数吗？
(3) 直接写出自变量的取值范围。
【点拨】由图形关系可知,$ y $ 随 $ x $ 的变化而变化,矩形面积的增加量等于后来得到的矩形与原矩形的面积差。即“增加面积= 现矩形面积-原矩形面积”,进一步用代数式表示为“$ y = (4 + x)(3 + x)-4×3 $”,化简可得函数关系。

答案： （1）
∵矩形的长为 4 cm，宽为 3 cm，
∴矩形的面积=4×3=12（$cm^{2}$）.
∵矩形的长与宽都增加 x cm，
∴增加后矩形的面积=(4+x)·(3+x) $cm^{2}$，
∴$y=(4+x)(3+x)-12$，即 $y=x^{2}+7x$，
∴y 与 x 之间的函数关系式为 $y=x^{2}+7x$.
（2）$y=x^{2}+7x$ 是二次函数.
（3）
∵x 为矩形增加的长与宽，
∴自变量 x 的取值范围为 $x\geq 0$.

1. 若函数 $ y= (m + 1)x^{2}+2x + 1 $ 是二次函数,则常数 $ m $ 的取值范围是(D)
A.$ m= -1 $
B.$ m ＞ -1 $
C.$ m ＜ -1 $
D.$ m \neq -1 $

答案： D

2. 下列函数中,是二次函数的是(C)
A.$ y = 2x + 3 $
B.$ y= \frac{16}{x} $
C.$ y = x^{2}+3x $
D.$ y = x^{2}+\frac{1}{x} $

答案： C

3. 下列函数哪些是二次函数？是二次函数的写出它们的二次项、一次项、常数项。
(1) $ y = 9x^{2}+2x $；
(2) $ y= -0.5(x - 1)(x + 4) $；
(3) $ s = 3-2t^{2} $；
(4) $ y = 2x(x^{2}+3x - 1) $。

答案： 解：（1）$y=9x^{2}+2x$ 是二次函数，二次项是 $9x^{2}$，一次项是 2x，常数项是 0.
（2）$y=-0.5(x-1)(x+4)$ 是二次函数，二次项是 $-0.5x^{2}$，一次项是 -1.5x，常数项是 2.
（3）$s=3-2t^{2}$ 是二次函数，二次项是 $-2t^{2}$，一次项是 0，常数项是 3.
（4）$y=2x(x^{2}+3x-1)$ 不是二次函数.