《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

4. 为庆祝 2024 年元旦,学校准备开展“冬日情暖,喜迎元旦”活动,小星同学对会场进行装饰,如图 1 所示,他在会场的两墙 $ AB $,$ CD $ 之间悬挂一条近似抛物线 $ y = ax^2 - \frac{4}{5}x + 3 $ 的彩带,已知墙 $ AB $ 与 $ CD $ 等高,且 $ AB $,$ CD $ 之间的水平距离 $ BD $ 为 8 m。
(1)如图 2,两墙 $ AB $,$ CD $ 的高度是______m,抛物线的顶点坐标为______。
(2)为了使彩带的造型美观,小星把彩带从点 $ M $ 处用一根细线吊在天花板上,如图 3 所示,使得点 $ M $ 到墙 $ AB $ 的距离为 3 m,使抛物线 $ F_1 $ 的最低点距墙 $ AB $ 的距离为 2 m,离地面 2 m,求点 $ M $ 到地面的距离。

(1)如图 2,两墙 $ AB $,$ CD $ 的高度是3m,抛物线的顶点坐标为(4，1.4)。
(2)为了使彩带的造型美观,小星把彩带从点 $ M $ 处用一根细线吊在天花板上,如图 3 所示,使得点 $ M $ 到墙 $ AB $ 的距离为 3 m,使抛物线 $ F_1 $ 的最低点距墙 $ AB $ 的距离为 2 m,离地面 2 m,求点 $ M $ 到地面的距离。
2.25m

答案： 4. 解：（1）由题意，得抛物线的对称轴为$x=4$，则$x=4=-\frac{b}{2a}=\frac{-\frac{4}{5}}{2a}$，解得$a=0.1$，
∴抛物线的表达式为$y=0.1x^{2}-0.8x+3$，
∴点$A(0，3)$，即$AB=CD=3$（m），当$x=4$时，$y=0.1x^{2}-0.8x+3=1.4$，即顶点坐标为（4，1.4），故答案为3，（4，1.4）.
（2）设抛物线的表达式为$y=a'(x-2)^{2}+2$，将点A的坐标代入上式，得$3=a'(0-2)^{2}+2$，解得$a'=\frac{1}{4}$，
∴抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^{2}+2$，当$x=3$时，$y=\frac{1}{4}(x-2)^{2}+2=2.25$（m），
∴点M到地面的距离为2.25m.

5. 如图,小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线 $ y = -0.2x^2 + 3.5 $ 的一部分,若命中篮圈中心,则他与篮圈底的距离 $ l $ 是(C)

A.3 m
B.3.5 m
C.4 m
D.4.5 m

答案： C

6. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究,将变阻器 $ R $ 的滑片从一端滑到另一端,绘制出变阻器 $ R $ 消耗的电功率 $ P $ 随电流 $ I $ 变化的关系图象如图所示,该图象是经过原点的一条抛物线的一部分,则变阻器 $ R $ 消耗的电功率 $ P $ 最大为220W。

答案： 220