《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

6. 抛物线 $ y = ax^2 + c $ 与抛物线 $ y = -ax^2 + c $ 的关系是(C)
A.关于 $ y $ 轴对称
B.关于 $ x $ 轴对称
C.有公共顶点且开口相反
D.关于原点对称

答案： C

7. 与抛物线 $ y = -\frac{4}{5}x^2 - 1 $ 顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式是(B)
A.$ y = -\frac{4}{5}x^2 - 1 $
B.$ y = \frac{4}{5}x^2 - 1 $
C.$ y = -\frac{4}{5}x^2 + 1 $
D.$ y = \frac{4}{5}x^2 + 1 $

答案： B

8. 如图为函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 + 1 $ 和 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 的图象,则图中阴影部分的面积为4。

答案： 4

9. 求下列各抛物线的解析式。
(1) 已知一条抛物线的顶点在 $ y $ 轴上,且经过 $ (1, -2) $,$ (2, 3) $ 两点。
(2) 已知某抛物线与抛物线 $ y = 2x^2 + 3 $ 的形状、开口方向都一样,顶点为 $ (0, 4) $。
(3) 已知抛物线 $ y = ax^2 + c $ 与 $ x $ 轴交于两点 $ (2, 0) $,$ (-2, 0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ (0, 2) $。

答案： 解：
(1)
∵抛物线的顶点在$y$轴上，
∴设抛物线的解析式是$y = ax^2 + k$，把$(1,-2)$，$(2,3)$代入得$\begin{cases}a + k = -2\\4a + k = 3\end{cases}$，解得$a = \frac{5}{3}$，$k = -\frac{11}{3}$，即抛物线的解析式是$y = \frac{5}{3}x^2 - \frac{11}{3}$.
(2)
∵抛物线的顶点坐标为$(0,4)$，形状开口方向与抛物线$y = 2x^2 + 3$相同，
∴这个二次函数的解析式为$y = 2(x - 0)^2 + 4$，即$y = 2x^2 + 4$.
(3)
∵抛物线$y = ax^2 + c$与$x$轴交于两点$(2,0)$，$(-2,0)$，与$y$轴交于点$(0,2)$，
∴代入得$\begin{cases}4a + c = 0\\c = 2\end{cases}$，解得$a = -\frac{1}{2}$，$c = 2$，即抛物线的解析式是$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$.

10. (2022·吉林) 对于二次函数 $ y = 2x^2 - 3 $,当 $ -1 \leq x \leq 2 $ 时,$ y $ 的取值范围是(C)
A.$ -1 \leq y \leq 5 $
B.$ -5 \leq y \leq 5 $
C.$ -3 \leq y \leq 5 $
D.$ -2 \leq y \leq 5 $

答案： C

11. (2023·盘锦) 在同一坐标系中,一次函数 $ y = -kx + 2 $ 与二次函数 $ y = x^2 + k $ 的图象可能是(A)

答案： A