《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

【例 2】 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}+(k + 2)+\frac{k}{4}= 0$ 有两个不相等的实数根,求 $k$ 的取值范围。
【点拨】 1. 一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$($a\neq0$)的根的判别式为 $\Delta = b^{2}-4ac$。当 $\Delta＞0$,方程有两个不相等的实数根；当 $\Delta = 0$,方程有两个相等的实数根；当 $\Delta＜0$,方程没有实数根。2. 一元二次方程二次项系数不为 $0$。

答案： 解：
∵关于$x$的一元二次方程$kx^2+(k+2)+\frac{k}{4}=0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta=b^2-4ac＞0$，$a=k$，$b=k+2$，$c=\frac{k}{4}$，即$(k+2)^2-4\cdot k\cdot\frac{k}{4}=k^2+4k+4-k^2=4k+4＞0$，解得$k＞-1$.又
∵一元二次方程二次项系数不为 0，即$k\neq0$，
∴$k$的取值范围是$k＞-1$且$k\neq0$.

1. 一元二次方程 $2x^{2}-2x = x + 1$ 根的判别式的值是(C)
A.$0$
B.$1$
C.$17$
D.$-13$

答案： C

2. 下列方程中,没有实数根的是(A)
A.$x^{2}+1 = 0$
B.$x^{2}-2x + 1 = 0$
C.$x^{2}-2x - 3 = 0$
D.$x^{2}-2x = 0$

答案： A

3. 一元二次方程 $x^{2}+5x + 1 = 0$ 根的判别式的值是21。

答案： 21

4. 方程 $x^{2}-3x = 1$ 的解是$x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。

答案： $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$

5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+5x + k = 0$ 有两个相等的实数根,则 $k=$$\frac{25}{4}$。

答案： $\frac{25}{4}$

6. 给出下列方程：①$x^{2}+6x - 2 = 0$；②$3x^{2}-4 = 0$；③$2y^{2}-3y - 1 = 0$。你认为选用哪种方法解方程较简便(填序号)？
开平方法：②,配方法：①,公式法：③。

答案： 开平方法：②,配方法：①,公式法：③

7. 用公式法解下列方程。
(1)$x^{2}-x - 4 = 0$；
(2)$2x^{2}+3 = 7x$；
(3)$(x - 2)^{2}= x - 3$；
(4)$4x^{2}+2x - 1 = 0$；
(5)$2y^{2}-6y+\frac{1}{2}= 0$；
(6)$x(2x-\sqrt{6})= \sqrt{6}x - 3$。

答案： （1）$a=1$，$b=-1$，$c=-4$，$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-4)=1+16=17＞0$，方程有两个不等的实数根，$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$，$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.
（2）方程化为$2x^2-7x+3=0$，$a=2$，$b=-7$，$c=3$，$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×2×3=25＞0$，方程有两个不等的实数根，即$x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{7\pm5}{4}$，$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$.
（3）方程化为$x^2-5x+7=0$，$a=1$，$b=-5$，$c=7$，$\Delta=b^2-4ac=25-28=-3＜0$，方程无实数根.
（4）$a=4$，$b=2$，$c=-1$，$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×4×(-1)=4+16=20＞0$，方程有两个不等的实数根，即$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{8}$，$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$.
（5）$a=2$，$b=-6$，$c=\frac{1}{2}$，$\Delta=b^2-4ac=36-4=32＞0$，方程有两个不等的实数根，即$y=\frac{6\pm\sqrt{32}}{4}=\frac{6\pm4\sqrt{2}}{4}$，$y_1=\frac{3}{2}+\sqrt{2}$，$y_2=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$.
（6）方程化为$2x^2-2\sqrt{6}x+3=0$，$a=2$，$b=-2\sqrt{6}$，$c=3$，$\Delta=b^2-4ac=24-24=0$，方程有两个相等的实数根，即$x=\frac{2\sqrt{6}\pm\sqrt{0}}{4}$，$x_1=x_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$.