《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

在半径为 $ R $ 的圆中，$ n^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长$ l=\frac{n\pi R}{180} $，圆心角为 $ n^{\circ} $ 的扇形面积$ S_{扇形}=\frac{n\pi R^{2}}{360} $，半径为 $ R $，比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长 $ l $ 表示扇形的面积$ S=\frac{1}{2}lR $.

答案： $ l=\frac{n\pi R}{180} $ $ S_{扇形}=\frac{n\pi R^{2}}{360} $ $ S=\frac{1}{2}lR $

1. 若扇形的圆心角为 $ 90^{\circ} $,半径为 $ 6 $,则该扇形的弧长为(C)
A.$ \dfrac{3}{2}\pi $
B.$ 2\pi $
C.$ 3\pi $
D.$ 6\pi $

答案： C

2. 在半径为 $ 6 $ 的圆中,$ 120^{\circ} $ 的圆心角所对扇形的面积是$ 12\pi $.

答案： $ 12\pi $

【例】如图 24.4 - 1,在 $ \odot O $ 中,$ AB $ 是直径,点 $ C $ 是圆上一点. 在 $ AB $ 的延长线上取一点 $ D $,连接 $ CD $,使 $ \angle BCD = \angle A $. 若 $ \angle ACD = 120^{\circ} $,$ CD = 2\sqrt{3} $,求图中阴影部分的面积(结果用含 $ \pi $ 的式子表示).
【点拨】本题的关键是求出半径,进而根据三角形的面积公式和扇形的面积公式求解.
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答案：
解：如图，连接 OC，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠ACD=120°，∠ACB=90°，
∴∠A=∠BCD=120°-90°=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°.
∵在Rt△OCD中，$ CD=2\sqrt{3} $，∠A=30°，
∴OC=2，
∴$ S_{阴影}=S_{\triangle OCD}-S_{扇形BOC}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 2-\frac{60\pi × 2^{2}}{360}=2\sqrt{3}-\frac{2\pi }{3} $.

1. 若扇形的半径为 $ 3 $,圆心角为 $ 60^{\circ} $,则此扇形的弧长是(A)
A.$ \pi $
B.$ 2\pi $
C.$ 3\pi $
D.$ 4\pi $

答案： A

2. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ C $ 是 $ \odot O $ 上一点,连接 $ AC $,$ OC $,若 $ AB = 6 $,$ \angle A = 30^{\circ} $,则$\overset{\frown}{BC}$的长为(D)

A.$ 6\pi $
B.$ 2\pi $
C.$ \dfrac{3}{2}\pi $
D.$ \pi $
]

答案： D