《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

【知识点】垂径定理及推论

- 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
- 几何语言：如图 24.1 - 5,
∵ 直径 $ CD \perp AB $,垂足为 $ E $,
∴AE=BE,$\widehat {AC}=\widehat {BC}$,$\widehat {AD}=\widehat {BD}$.
- 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

答案： 平分　平分弦所对的　AE=BE $\widehat {AC}=\widehat {BC}$ $\widehat {AC}=\widehat {BD}$ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

如图 24.1 - 6,在 $ \odot O $ 中,弦 $ AB $ 为 $ 8\ mm $,圆心 $ O $ 到 $ AB $ 的距离为 $ 3\ mm $,则 $ \odot O $ 的半径等于(C)

A.$ 3\ mm $
B.$ 4\ mm $
C.$ 5\ mm $
D.$ 8\ mm $

答案： C

【例】 如图 24.1 - 7,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ CD $ 是 $ \odot O $ 的弦,$ CD \perp AB $ 于点 $ E $,若 $ AE = CD = 8 $,求 $ \odot O $ 的半径.
【点拨】 要想求半径,只要连接半径构造出直角三角形,再根据勾股定理建立方程,即可求出半径.

答案： 解:连接OC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=CD=8，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD = 4.设OC=r，则OE=8 - r.在Rt△OCE中，根据勾股定理，得OE²+CE²=OC²，即(8 - r)²+4²=r²，解得r = 5.
∴⊙O的半径为5.

1. 一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径 $ OB = 10 $,水面宽 $ AB = 16 $,则截面圆心 $ O $ 到水面的距离 $ OC $ 是(D)

A.$ 4 $
B.$ 5 $
C.$ 6\sqrt{3} $
D.$ 6 $

答案： D