《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形的对角互补.

答案： 圆内接多边形　外接圆　互补

如图 24.1 - 15,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,$\angle BOD = 110^{\circ}$,那么 $\angle BCD$ 等于(D)

A.$110^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$125^{\circ}$

答案： D

【例】如图 24.1 - 16,圆内接四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 交于点 $E$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,$\angle BAC = \angle ADB$.
(1) 求证 $DB$ 平分 $\angle ADC$,并求 $\angle BAD$ 的大小.
(2) 过点 $C$ 作 $CF// AD$ 交 $AB$ 的延长线于点 $F$,若 $AC = AD$,$BF = 2$,求此圆半径的长.
【点拨】要求 $\angle BAD$ 的大小,根据角平分线的性质和圆内接四边形的对角互补,只需求 $\angle ABD + \angle ADB = 90^{\circ}$,进而得到 $\angle BAD = 90^{\circ}$,根据 $90^{\circ}$ 的圆周角所对的弦是直径,得出 $BD$ 是圆的直径,进而由垂径定理推出 $\triangle ACD$ 是等边三角形,从而求出半径.

答案：
(1)证明：
∵∠BAC=∠ADB，∠BAC=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°，
∴2(∠ABD+∠ADB)=180°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°−90°=90°.
(2)解：
∵∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE=∠ADE，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠AED=90°.
∵∠BAD=90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD=CD.
∵AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°.
∵BD⊥AC，
∴∠BDC= $\frac{1}{2}$∠ADC=30°.
∵CF//AD，
∴∠F+∠BAD=180°，
∴∠F=90°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠FBC+∠ABC=180°，
∴∠FBC=∠ADC=60°，
∴BC=2BF=4.
∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，
∴BC= $\frac{1}{2}$BD.
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4.

1. 如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的弦,$OC\perp AB$ 交 $\odot O$ 于点 $C$,点 $D$ 是 $\odot O$ 上一点,$\angle ADC = 25^{\circ}$,则 $\angle BOC$ 的度数为(C)

A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： C