《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

【知识点 1】一元二次方程 $ x^{2}= p $ 的解法
一般地,对于方程 $ x^{2}= p $,根据平方根的意义,
(1) 当 $ p $＞$ 0 $ 时,方程 $ x^{2}= p $ 有两个不等的实数根 $ x_{1}= -\sqrt{p} $,$ x_{2}= \sqrt{p} $；
(2) 当 $ p= 0 $ 时,方程 $ x^{2}= p $ 有两个相等的实数根$ x_{1}=x_{2}=0 $；
(3) 当 $ p＜0 $ 时,因为对任意实数 $ x $,都有 $ x^{2} \geq 0 $,所以方程 $ x^{2}= p $ 无实数根.

答案： （1）＞ （2）相等 x₁=x₂=0

1. 一元二次方程 $ x^{2}= 2 $ 的解为x₁=√2，x₂=-√2.

答案： x₁=√2，x₂=-√2

2. 一元二次方程 $ 4x^{2}-25= 0 $ 的解为x₁=5/2，x₂=-5/2.

答案： x₁=5/2，x₂=-5/2

1. 方程 $ (x-3)^{2}= 16 $ 的根为(D)
A.$ x_{1}= x_{2}= 7 $
B.$ x_{1}= 7 $,$ x_{2}= 1 $
C.$ x_{1}= x_{2}= -1 $
D.$ x_{1}= 7 $,$ x_{2}= -1 $

答案： D

2. 方程 $ 3(x+1)^{2}= 9 $ 的根是x₁=√3-1，x₂=-√3-1.

答案： x₁=√3-1，x₂=-√3-1

【例】解方程：$ 2(x-1)^{2}-18= 0 $.
【点拨】本题考查利用直接开平方法解一元二次方程,一般步骤是：一化,将原方程变形为 $ x^{2}= p $($ p \geq 0 $)或 $ (mx+n)^{2}= p $($ p \geq 0 $)的形式；二开,直接开平方,得 $ x= \pm \sqrt{p} $,$ mx+n= \pm \sqrt{p} $；三写,写出原方程的解.

答案： 解：方程变形为 (x-1)²=9，两边开平方，得x-1=±3，即x-1=3，x-1=-3，
∴原方程的解为x₁=4，x₂=-2.