《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

8. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,$D$ 是弧 $AC$ 的中点,延长 $BC$ 到点 $E$,使 $CE = AB$,连接 $BD$,$ED$.
(1) 求证：$BD = ED$.
(2) 若 $\angle ABC = 60^{\circ}$,$AD = 5$,求 $\odot O$ 的直径.

答案：
(1)证明：
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴AD=DC.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵∠ECD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠ECD.在△ABD和△CED中，$\begin{cases} AD=DC, \\ ∠BAD=∠ECD, \\ AB=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD=ED.
(2)解：连接DO并延长交⊙O于点F，连接CF，则∠FCD=90°.
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠ABD=∠CBD，AD=CD=5.
∵∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴∠F=∠DBC=30°，
∴DF=2CD=10，
∴⊙O的直径长为10.

9. 已知：如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$CD$ 为弦,且 $AB\perp CD$ 于点 $E$,$F$ 为 $DC$ 延长线上一点,连接 $AF$ 交 $\odot O$ 于点 $M$. 求证：$\angle AMD = \angle FMC$.

答案： 证明：连接BM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB=∠BMF=90°.又
∵AB⊥CD于点E，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠CMB=∠BMD，
∴∠AMD=∠AMB-∠BMD=∠BMF-∠CMB=∠CMF，即∠AMD=∠FMC.

10. (2024·牡丹江) 如图,四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,若 $\angle BEC = 20^{\circ}$,则 $\angle ADC$ 的度数为(B)

A.$100^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$130^{\circ}$

答案： B

11. (2024·吉林) 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,过点 $B$ 作 $BE// AD$,交 $CD$ 于点 $E$. 若 $\angle BEC = 50^{\circ}$,则 $\angle ABC$ 的度数是(C)

A.$50^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

答案： C

12. (2024·济宁) 如图,分别延长圆内接四边形 $ABCD$ 的两组对边,延长线相交于点 $E$,$F$. 若 $\angle E = 54^{\circ}41'$,$\angle F = 43^{\circ}19'$,则 $\angle A$ 的度数为(C)

A.$42^{\circ}$
B.$41^{\circ}20'$
C.$41^{\circ}$
D.$40^{\circ}20'$

答案： C