《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

【知识点 1】二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象
$ y = ax^2 + k $ 的图象由 $ y = ax^2 $ 的图象向上(或向下)平移得到。
在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,抛物线 $ y = x^2 + 1 $ 的图象由 $ y = x^2 $ 向上平移 1 个单位长度得到。

答案： 向上

【知识点 2】二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的性质

对于二次函数 $ y = 3x^2 + 2 $,下列说法错误的是(B)
A.最小值为 2
B.图象为 $ y = 3x^2 $ 向下平移 2 个单位长度
C.当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.其图象的对称轴是 $ y $ 轴

答案： B

【例】 在同一坐标系中,画出函数 $ y = -x^2 $ 和 $ y = -x^2 + 1 $ 的图象,根据图象回答：
(1) 抛物线 $ y = -x^2 + 1 $ 经过怎样的平移得到抛物线 $ y = -x^2 $。
(2) 对于函数 $ y = -x^2 + 1 $：
① 当 $ x $ 为何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
② 当 $ x $ 为何值时,函数 $ y $ 有最大值？最大值是多少？
③ 求 $ y = -x^2 + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点坐标。
【点拨】 作出函数图象即可得到平移方向和距离；再利用二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的性质求解即可。

答案：
解:图象为;

(1)抛物线$y = -x^2 + 1$向下平移1个单位长度得到抛物线$y = -x^2$.
(2)对于函数$y = -x^2 + 1$：①当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小；②当$x = 0$时，函数$y$有最大值，最大值是1；③令$y = -x^2 + 1 = 0$，解得$x = ±1$，
∴与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(1,0)$，令$x = 0$，解得$y = 1$，
∴与$y$轴交于$(0,1)$.