《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

11.(2024·乐山)若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x+p = 0$ 的两根为 $x_{1}$,$x_{2}$,且 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= 3$,则 $p$ 的值为(A)
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$

答案： A

12.(2024·巴中)已知方程 $x^{2}-2x+k = 0$ 的一个根为 $-2$,则方程的另一个根为4。

答案： 4

13.(2024·西宁)已知方程 $x^{2}+2x - 1 = 0$ 的两根分别为 $a$ 和 $b$,则 $4a^{2}+8ab+4b^{2}$ 的值为16。

答案： 16

14.(2024·遂宁)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(m+2)x+m - 1 = 0$。
(1) 求证：无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根。
(2) 如果方程的两个实数根为 $x_{1}$,$x_{2}$,且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9$,求 $m$ 的值。

答案： （1）证明：$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$，这里a=1，b=-(m+2)，c=m-1，$\Delta =b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4×1×(m-1)=m^{2}+4m+4-4m+4=m^{2}+8$.
∵$m^{2}\geq0$，
∴$\Delta ＞0$.
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根.
（2）解：设方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=m+2$，$x_{1}x_{2}=m-1$.
∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$，
∴$(m+2)^{2}-3(m-1)=9$.整理，得$m^{2}+m-2=0$.
∴(m+2)(m-1)=0.解得$m_{1}=-2$，$m_{2}=1$.
∴m的值为-2或1.