《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

1. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}+4x+k - 1 = 0$ 的一个实根为 $1$,则另一个实根为(D)
A.$2$
B.$3$
C.$-2$
D.$-3$

答案： D

2. 已知 $x = 2+\sqrt{5}$ 是方程 $x^{2}-4x+m = 0$ 的一个根,则此方程的另一个根为(B)
A.$x = 2+\sqrt{5}$
B.$x = 2-\sqrt{5}$
C.$x = -\sqrt{5}$
D.$x = -1$

答案： B

3. 已知 $a$,$b$ 是一元二次方程 $x^{2}+x - 3 = 0$ 的两根,则 $a + b - 2ab$ 等于(D)
A.$7$
B.$-5$
C.$-7$
D.$5$

答案： D

4. 方程 $x^{2}+x = 5x+6$ 的两个实数根的和与积分别是(C)
A.$-5$,$6$
B.$-4$,$6$
C.$4$,$-6$
D.$-1$,$6$

答案： C

5. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx+c = 0$ 的两个实数根分别为 $3$ 和 $-4$,则(D)
A.$b = -1$,$c = 12$
B.$b = -1$,$c = -12$
C.$b = 1$,$c = 12$
D.$b = 1$,$c = -12$

答案： D

6. 下列一元二次方程两根之和为 $2$ 的是(C)
A.$x^{2}+2x+3 = 0$
B.$2x^{2}+4x - 1 = 0$
C.$3x^{2}-6x+2 = 0$
D.$x^{2}-3x+2 = 0$

答案： C

7. 已知矩形 $ABCD$ 的周长为 $12$,面积为 $5$,且 $AB$ 和 $BC$ 的长恰好是方程 $x^{2}+mx+n = 0$ 的两根,则 $m$ 和 $n$ 的值分别为(A)
A.$-6$,$5$
B.$12$,$-5$
C.$6$,$5$
D.$-12$,$5$

答案： A

8. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx+2 = 0$ 的两个根是 $x_{1}$,$x_{2}$,若 $x_{1}+x_{2}= -4$,则 $m$ 的值是4。

答案： 4

9. 若 $m$,$n$ 为方程 $x^{2}-6x - 3 = 0$ 的两个实数根,则 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}= $-2。

答案： -2

10. 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$($a\neq0$),如果方程有两个实数根为 $x_{1}$,$x_{2}$,那么 $x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}$,$x_{1}\cdot x_{2}= \frac{c}{a}$,灵活运用一元二次方程的根与系数的关系有时可以使解题更为简单。根据上述材料,结合你所学的知识,回答下列问题：
(1) 材料理解：已知一元二次方程 $x^{2}-3x - 2 = 0$ 两个实数根分别为 $m$,$n$,求 $m^{2}n+mn^{2}$ 的值。小明给出了一部分解题思路：
解：$\because$ 一元二次方程 $x^{2}-3x - 2 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$,$n$,
$\therefore m + n= $3,$\therefore mn= $-2,$\therefore m^{2}n+mn^{2}= $-6。
请填空并将过程补充完整。
(2) 类比应用：一元二次方程 $-x^{2}+mx+1 = 0$ 的一个根为 $x = 2$,则 $m=$$\frac{3}{2}$,另一个根为 $x=$$-\frac{1}{2}$。
(3) 思维拓展：关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2m+1)x+m^{2}-2 = 0$ 有两个实数根,且这两个实数根的平方和是 $21$,求 $m$ 的值。
解：设关于x的一元二次方程$x^{2}+(2m+1)x+m^{2}-2=0$有两个实数根为$x_{1},x_{2}$，
∴$x_{1}+x_{2}=-(2m+1)$，$x_{1}x_{2}=m^{2}-2$.
∵这两个实数根的平方和是21，
∴$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=21=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，
∴$[-(2m+1)]^{2}-2(m^{2}-2)=21$，解得$m_{1}=-4$，$m_{2}=2$.
∵$\Delta =b^{2}-4ac=(2m+1)^{2}-4(m^{2}-2)=4m+9\geq0$，
∴$m\geq-\frac{9}{4}$，
∴m=-4不符合题意，则m=2.

答案： （1）3 -2 -6 （2）$\frac{3}{2}$ $-\frac{1}{2}$
（3）解：设关于x的一元二次方程$x^{2}+(2m+1)x+m^{2}-2=0$有两个实数根为$x_{1},x_{2}$，
∴$x_{1}+x_{2}=-(2m+1)$，$x_{1}x_{2}=m^{2}-2$.
∵这两个实数根的平方和是21，
∴$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=21=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，
∴$[-(2m+1)]^{2}-2(m^{2}-2)=21$，解得$m_{1}=-4$，$m_{2}=2$.
∵$\Delta =b^{2}-4ac=(2m+1)^{2}-4(m^{2}-2)=4m+9\geq0$，
∴$m\geq-\frac{9}{4}$，
∴m=-4不符合题意，则m=2.