《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

答案： 圆周角

在下列与圆有关的角中,哪些是圆周角,哪些不是？为什么？

答案： 图3是，其他不满足定义.

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。

半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。

答案： 一半　相等　直角　90°

1. 如图 24.1 - 12,点 $ A $,$ B $,$ C $ 都在 $ \odot O $ 上,若 $ \angle C = 34^{\circ} $,则 $ \angle AOB $ 为(D)


A.$ 34^{\circ} $
B.$ 56^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 68^{\circ} $

答案： D

2. 如图 24.1 - 13,$ \triangle ABC $ 内接于 $ \odot O $,$ AC $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ D $ 是 $ \odot O $ 上一点,连接 $ BD $,$ CD $,若 $ \angle ACD = 41^{\circ} $,则 $ \angle DBC $ 的度数是49°。

答案： 49°

【例】 如图 24.1 - 14,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,以 $ AB $ 为直径作 $ \odot O $,交 $ BC $ 边于点 $ D $,交 $ CA $ 的延长线于点 $ E $,连接 $ AD $,$ DE $。
(1) 求证：$ BD = CD $。
(2) 若 $ AB = 5 $,$ DE = 4 $,求 $ AD $ 的长。
【点拨】 要想证明 $ BD = CD $,由于 $ AB = AC $,只要能证明 $ AD \perp BD $,进而根据等腰三角形的三线合一的性质证明即可；要想求 $ AD $ 的长,只需要知道 $ CD $ 的长,根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到 $ \angle B = \angle E $,根据对边对等角得出 $ \angle B = \angle C $,则 $ \angle E = \angle C $,进而得到 $ DE = DC $,即可根据勾股定理求解。

答案：
(1)证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD.又
∵AB=AC，
∴BD=CD.
(2)解：
∵AB=5，DE=4，
∴AB=AC=5，
∴∠B=∠C.
∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C，
∴DE=DC=4.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴根据勾股定理，得AD=√(AC² - CD²)=√(5² - 4²)=3.