《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

7. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 $ x $ 与纵坐标 $ y $ 的对应值如表所示。
(1) $ m = $______.
(2) 求这个二次函数的解析式,并在平面直角坐标系中画出它的图象。
(3) 当 $ 1 ＜ x \leq 5 $ 时,直接写出 $ y $ 的取值范围为______.

答案：
解：
(1)0
(2)
∵抛物线的顶点坐标为(2,−1)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−2)²−1，由条件，可得3=a(0−2)²−1，解得a=1，
∴y=(x−2)²−1.根据题干表格中的数据，描点、连线，画出函数图象如图所示.

(3)−1≤y≤8

8. 已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $($ b $, $ c $ 为常数)的图象经过点 $ A(-2, 5) $,对称轴为直线 $ x = -\frac{1}{2} $。
(1) 求二次函数的表达式。
(2) 若点 $ B(1, 7) $ 向上平移 $ 2 $ 个单位长度,向左平移 $ m $ $ (m ＞ 0) $ 个单位长度后,恰好落在 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象上,求 $ m $ 的值。

答案： 解：
(1)设二次函数的解析式为y=(x + $\frac{1}{2}$)²+k，把A(−2,5)代入，得(−2 + $\frac{1}{2}$)²+k=5，解得k=$\frac{11}{4}$，
∴y=(x + $\frac{1}{2}$)²+$\frac{11}{4}$=x²+x+3.
(2)点B平移后的点的坐标为(1−m,9)，则9=(1−m)²+(1−m)+3，解得m=4或m=−1(舍去)，
∴m的值为4.

9. 如图,已知点 $ A(-1, 0) $, $ B(3, 0) $, $ C\left(0, \frac{3}{2}\right) $ 在抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 上。
(1) 求抛物线解析式。
(2) 在第一象限的抛物线上求一点 $ P $,使 $ \triangle PBC $ 的面积为 $ \frac{3}{2} $。

答案：
解：
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，将C(0,$\frac{3}{2}$)代入，得−3a=$\frac{3}{2}$，解得a=−$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=−$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$.
(2)过点P作PD⊥x轴，垂足为D.设点P(x,−$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$)，
∴S四边形PCOB=$\frac{1}{2}$x($\frac{3}{2}$−$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$)+$\frac{1}{2}$(3−x)(−$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$)=$\frac{12}{4}$x−$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$，
∴S△PBC=S四边形PCOB−S△BOC=$\frac{12}{4}$x−$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$−$\frac{9}{4}$=$\frac{3}{2}$，整理，得x²−3x+2=0，解得x=1或x=2.
∴点P的坐标为(1,2)或(2,$\frac{3}{2}$).