《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

4. 随着互联网应用的日趋成熟和完善,电子商务在近几年得到了迅猛的发展. 某电商以每件 40 元的价格购进某款 $ T $ 恤,以每件 60 元的价格出售. 经统计,元旦前一周的销量为 500 件,该电商在元旦期间进行降价销售,经调查,发现该 $ T $ 恤在元旦前一周销量的基础上,每降价 1 元,销量就会增加 50 件. 设该 $ T $ 恤的定价为 $ x $ 元,获得的利润为 $ w $ 元.
(1) 求 $ w $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.
(2) 若要求销售单价不低于成本,且按照物价部门规定销售利润率不高于 $ 30\% $,如何定价才能使得利润最大？最大利润是多少元？$ \left( 利润率 = \frac{利润}{进价} × 100\% \right) $

答案： （1）根据题意，可得w=(x-40)[500+50(60-x)]=-50x²+5500x-140000，
∴w与x之间的函数关系式为w=-50x²+5500x-140000.
（2）由题意，可得{x≥40,(x-40)/40≤0.3解得40≤x≤52.
∵a=-50＜0，
∴抛物线开口向下.
∵抛物线的对称轴为直线x=55，
∴当40≤x≤52时，w随x的增大而增大，
∴当x=52时，w的最大值为w=(52-40)[500+50×(60-52)]=10800（元）.答：当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大利润为10800元.

5. (2023·泉州)福建漳州的优质甘蓝菜的所有种植成本为 2 元/kg,经市场调查发现,甘蓝菜的销售量 $ y $(kg)与销售单价 $ x \, (4 \leq x \leq 18) $(元/kg)成如图所示的一次函数关系.
(1) 根据图象提供的信息,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.
(2) 若销售甘蓝菜获取的利润为 $ w $ 元,当销售单价 $ x $ 为多少元时,获得的利润最大？最大利润是多少？

答案： （1）由题意，可知y与x之间的关系式为y=kx+b，代入（4，120），（6，110），可得{120=4k+b,110=6k+b解得{k=-5,b=140.
∴y与x之间的函数关系式为y=-5x+140（4≤x≤18）.
（2）由题意，得w=(x-2)(-5x+140)=-5x²+150x-280=-5(x-15)²+845.
∵-5＜0，4≤x≤18，
∴当x=15时，w取得最大值，最大值为845.答：销售单价定为15元/kg时，获得的利润最大，最大利润为845元.