《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

【知识点 1】一元二次方程 $x^{2}+px+q = 0$ 的根与系数的关系
关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+px+q = 0$,两个根 $x_{1}$,$x_{2}$ 与系数 $p$,$q$ 的关系：$x_{1}+x_{2}=$-p,$x_{1}\cdot x_{2}=$q。
设方程 $x^{2}+x - 2 = 0$ 的两个根为 $\alpha$,$\beta$,那么 $\alpha+\beta=$-1,$\alpha\cdot\beta=$-2。

答案： -p q -1 -2

【知识点 2】一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$($a\neq0$)的根与系数的关系
关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$($a\neq0$),两个根 $x_{1}$,$x_{2}$ 与系数 $a$,$b$,$c$ 的关系：$x_{1}+x_{2}=$$-\frac{b}{a}$,$x_{1}\cdot x_{2}=$$\frac{c}{a}$。

答案： $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

1. 一元二次方程 $2x^{2}-3x - 8 = 0$ 的两个根为 $m$,$n$,则 $m + n= $$\frac{3}{2}$,$m\cdot n= $-4。

答案： $\frac{3}{2}$ -4

2. 已知关于 $x$ 的方程 $2x^{2}+kx - 10 = 0$ 的一个根为 $x = 5$,则另一个根为x=-1。

答案： x=-1

【例】 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x+m - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$,$x_{2}$。
(1) 求 $m$ 的取值范围。
(2) 当 $x_{1}= -1$ 时,求另一个根 $x_{2}$ 的值。
【点拨】 本题考查了一元二次方程根的判别式：方程有两个不相等的实数根时 $\Delta＞0$。一元二次方程的根与系数的关系：两根之和等于 $-\frac{b}{a}$,两根之积等于 $\frac{c}{a}$。

答案： 解：（1）
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+m-2=0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta =b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(m-2)＞0$，
∴12-4m＞0，解得m＜3，
∴m的取值范围为m＜3.
（2）
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+m-2=0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$，
∴$x_{1}+x_{2}=2$.又
∵$x_{1}=-1$，
∴-1+$x_{2}$=2，
∴$x_{2}=3$，
∴另一个根$x_{2}$的值为3.