《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

10. 二次函数 $ y = 2\sqrt{3}x^2 $ 的图象如图所示,点 $ O $ 为坐标原点,点 $ A $ 在 $ y $ 轴的正半轴上,点 $ B $,$ C $ 在函数图象上,四边形 $ OBAC $ 为菱形,且 $ \angle AOB = 30° $,则点 $ C $ 的坐标为(B)

A.$ \left( -\frac{1}{2}, \sqrt{3} \right) $
B.$ \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $
C.$ \left( -1, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $
D.$ (-1, \sqrt{3}) $

答案： B

11. 已知二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 的图象如图所示,线段 $ AB // x $ 轴,交抛物线于 $ A $,$ B $ 两点,且点 $ A $ 的横坐标为 $ 2 $,则 $ AB $ 的长度为 4。

答案： 4

12. 如图,正方形 $ ABCD $,$ CEFG $ 的顶点 $ D $,$ F $ 都在抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 上,点 $ B $,$ C $,$ E $ 均在 $ y $ 轴上。若点 $ O $ 是 $ BC $ 边的中点,则正方形 $ CEFG $ 的边长为 1+$\sqrt{2}$。

答案： 1+$\sqrt{2}$

13. 如图,已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象交于点 $ A(1, m) $ 和 $ B(-2, 4) $。
(1) 求两个函数的解析式。
(2) 求 $ \triangle AOB $ 的面积。

答案： 解：（1）
∵二次函数 y=ax²的图象过点 A（1，m）和 B（-2，4），
∴4a=4，解得 a=1，
∴二次函数的解析式 y=x². 把点 A（1，m）代入二次函数解析式，得 m=1，把点 A（1，1），B（-2，4）代入一次函数 y=kx+b，得$\begin{cases} k+b=1 \\ -2k+b=4 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=2 \end{cases}$，故一次函数的解析式为 y=-x+2.
（2）一次函数 y=-x+2 与 y 轴交于点 C（0，2），S△AOB=S△AOC+S△COB=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×2=3.

14. (2022·武汉)如图,正方形的边长为 $ 4 $,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数 $ y = \frac{1}{3}x^2 $ 与 $ y = -\frac{1}{3}x^2 $ 的图象,则阴影部分的面积是 ______。

8

答案： 8