《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做切线长.
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
如图24.2-8,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点. 若∠P= 50°,则∠AOB= 130°；若PA= 3,则PB= 3；连接OP,则∠APO= 25°.

答案： 切点 线段长 两条切线的夹角 130° 3 25°

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
如图24.2-9,已知点P是△ABC的内心,若∠BAP= 50°,则∠BPC的度数为140°.

答案： 三角形三条角平分线 140°

【例】 已知BA,BC,CD分别与⊙O相切于A,M,D三点,AB= 1,CD= 3.
(1)如图1,求BC的长.
(2)如图2,当AB//DC,∠DCB= 60°时,连接OB,OC,求OB,OC的长.
【点拨】 根据切线长定理AB= MB= 1,CD= CM= 3,即可求BC. 根据切线长定理求出∠BOC= 90°,进而根据勾股定理即可求解.

答案：
解：（1）
∵BA，BC，CD 分别与⊙O 相切于 A，M，D 三点，AB = 1，CD = 3.
∴AB = MB = 1，CD = CM = 3，
∴BC = BM + CM = 1 + 3 = 4.
（2）如图，连接 OM，
∵AB//DC，
∴∠ABC +∠DCB = 180°.
∵∠DCB = 60°，
∴∠ABC = 120°.
∵BA，BC，CD 分别与⊙O 相切于 A，M，D 三点，
∴OM⊥BC，OB 平分∠ABM，OC 平分∠BCD，
∴∠BMO = 90°，∠OBM = $\frac{1}{2}$∠ABC = 60°，∠OCM = $\frac{1}{2}$∠DCB = 30°，
∴∠OBM +∠OCM = 90°，
∴∠BOC = 90°，
∴∠BOM =∠BMO - ∠OBM = 30°.
∴OB = 2MB = 2，
∴在 Rt△OBC 中，根据勾股定理 OC = $\sqrt{BC^2 - OB^2}$ = $2\sqrt{3}$，
∴OB = 2，OC = $2\sqrt{3}$.