《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

1. 如图,小明以抛物线为灵感,在平面直角坐标系中设计了一款高 $ OD $ 为 13 的奖杯,杯体轴截面 $ ABC $ 是抛物线 $ y = \frac{4}{7}x^2 + 6 $ 的一部分,则杯口的口径 $ AC $ 长为(B)

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： B

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ AB = 8 $ cm,$ BC = 6 $ cm,点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿 $ AB $ 向点 $ B $ 以 2 cm/s 的速度移动,点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿 $ BC $ 向 $ C $ 点以 1 cm/s 的速度移动,如果 $ P $,$ Q $ 分别从 $ A $,$ B $ 同时出发,当 $ \triangle PBQ $ 的面积为最大时,运动时间 $ t $ 为2s。

答案： 2

3. 在一幅长 80 cm、宽 50 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是 $ y $ $ cm^2 $,设金色纸边的宽为 $ x $ cm,要求纸边的宽度不得少于 1 cm,同时不得超过 2 cm。
(1)求出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围。
(2)此时金色纸边的宽为多少厘米时,这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值。

答案： 3. 解：（1）镶金色纸边后风景画的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，
∴$y=(80+2x)(50+2x)=4x^{2}+260x+4000（1≤x≤2）$.
（2）
∵二次函数$y=4x^{2}+260x+4000$的对称轴为$x=-\frac{260}{8}=-\frac{65}{2}$，
∴在$1≤x≤2$上，y随x的增大而增大，
∴当$x=2$时，y取最大值，最大值为4536.
答：金色纸边的宽为2cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为4536$cm^{2}$.