《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

1. 一抛物线的形状、开口方向与 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 3 $ 相同,顶点为 $ (-2, 1) $,则此抛物线的解析式为(C)
A.$ y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1 $
B.$ y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 1 $
C.$ y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 + 1 $
D.$ y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 1 $

答案： C

2. 已知 $ y = (a - 2)x^2 - 2x + a^2 $ 是关于 $ x $ 的二次函数,其图象经过 $ (0, 4) $,则 $ a $ 的值为(C)
A.$ a = \pm 2 $
B.$ a = 2 $
C.$ a = -2 $
D.无法确定

答案： C

3. 已知二次函数的图象以 $ A(-1, 4) $ 为顶点,且过点 $ B(2, -5) $,则该二次函数的表达式为y=−x²−2x+3.

答案： y=−x²−2x+3

4. 若抛物线 $ y = -x^2 + 3x + c $ 与 $ y $ 轴的交点坐标是 $ (0, 5) $,则 $ c $ 的值为5.

答案： 5

5. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + 5 $ 经过点 $ (1, 4) $, $ (2, 7) $。
(1) 求这个二次函数的解析式。
(2) 写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标。

答案： 解：
(1)将点(1,4)，(2,7)代入y=ax²+bx+5，得$\begin{cases} 4=a+b+5, \\ 7=4a+2b+5, \end{cases}$
∴$\begin{cases} a=2, \\ b=-3, \end{cases}$
∴y=2x²−3x+5.
(2)
∵y=2x²−3x+5=2(x - $\frac{3}{4}$)²+$\frac{31}{8}$，
∴这条抛物线的对称轴为直线x=$\frac{3}{4}$，顶点坐标为($\frac{3}{4}$,$\frac{31}{8}$).

6. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ $ (a \neq 0) $ 的图象如图所示,根据图象解答下列问题。
(1) 求二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ $ (a \neq 0) $ 的解析式。
(2) 写出 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小的自变量 $ x $ 的取值范围。

答案： 解：
(1)设二次函数的解析式为y=a(x−h)²+k，由二次函数的图象可知抛物线的顶点坐标是(2,−2)，
∴y=a(x−2)²−2，把坐标(3,0)代入解析式，得a(3−2)²−2=0，解得a=2，
∴二次函数的解析式为y=2(x−2)²−2=2x²−8x+6，即二次函数的解析式为y=2x²−8x+6.
(2)由图象可知，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜2.