《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. (2025·重庆二十九中期中)如图,AB 是$\odot O$的直径,弦$CD\perp AB$于点 E. 点 M 在$\odot O$上,MD 恰好经过圆心 O,连结 MB.
(1)若$CD= 16$,$BE= 4$,求$\odot O$的直径;
(2)若$\angle M= \angle D$,求$\angle D$的度数.

答案： 1.
(1)
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=16，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=8.
∵BE=4，
∴OE=OB−BE=OD−4.
　在Rt△OED中，OE²+ED²=OD²，
∴(OD−4)²+8²=OD²，解得OD=10，
∴⊙O的直径是20.
(2)
∵弦CD⊥AB，
∴∠OED=90°，
∴∠EOD+∠D=90°.
∵∠M=∠D，∠EOD=2∠M，
∴∠BOD+∠D=2∠M+∠D=90°，
∴∠D=30°.
　思路引导　看到垂径定理的基本图形，就想到用勾股定理来求线段的长度;看到要求与圆有关的角的大小，就想到
(1)同弧所对的圆心角相等;
(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
(3)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;
(4)直角三角形两锐角互余;
(5)圆的内接四边形的对角互补.

2. (2025·湖南长沙期末)如图,AB 是$\odot O$的直径,弦CD 交 AB 于点 E,连结 AC,AD,BC. 若$\angle BAC= 30^{\circ}$,求$\angle D$的度数.

答案： 2.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=30°，
∴∠B=90°−∠BAC=90°−30°=60°，
∴∠D=∠B=60°.

3. (2024·金华义乌模拟)如图,圆内接四边形 ABCD的对角线 AC,BD 交于点 E,BD 平分$\angle ABC$,$\angle BAC= \angle ADB$.
(1)证明 DB 平分$\angle ADC$,并求$\angle BAD$的大小;
(2)过点 C 作$CF// AD$交 AB 的延长线于点 F,若$AC= AD$,$BF= 2$,求此圆半径的长.

答案： 3.
(1)
∵∠BAC=∠ADB，∠BAC=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°，
∴2(∠ABD+∠ADB)=180°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°−90°=90°.
(2)
∵∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE=∠ADE，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠AED=90°.
∵∠BAD=90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD=CD.
∵AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°.
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°.
∵CF//AD，
∴∠F+∠BAD=180°，
∴∠F=90°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠FBC+∠ABC=180°，
∴∠FBC=∠ADC=60°，
∴BC=2BF=4.
∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$BD，
∴BD=8.
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4.

4. (2025·江苏扬州江都区期末)机械学家莱洛研究发明的"莱洛三角形"是分别以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图).已知一个"莱洛三角形"曲边上两点之间的最大距离为 2,则此"莱洛三角形"的面积为______.

答案：
4.2π−2$\sqrt{3}$　[解析]由题知，因为“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2，所以AB=AC=BC=2.
　如图，过点A作BC的垂线，垂足为M,
　　　　　　　　
　由△ABC是等边三角形，得
　∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
　所以∠BAM=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
　所以BM=$\frac{1}{2}$AB=1，
　则AM= $\sqrt{2^{2}-1^{2}}$=$\sqrt{3}$，
　所以S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AM=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$
　又因为S扇形ABC=$\frac{2}{3}$π，
　所以“莱洛三角形”的面积为3S扇形ABC−2S△ABC=3×$\frac{2}{3}$π−2×$\sqrt{3}$=2π−2$\sqrt{3}$

5. 如图,AB 为$\odot O$的直径,点 C,D 在$\odot O$上,且$BC= 6\ \text{cm}$,$AC= 8\ \text{cm}$,$\angle ABD= 45^{\circ}$.
(1)求 BD 的长;
(2)求图中阴影部分的面积.

答案： 5.
(1)
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵BC=6cm，AC=8cm，
∴AB= $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$= $\sqrt{8^{2}+6^{2}}$=10(cm).
∵∠ABD=45°，OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°，
∴∠DOB=180°−∠ODB−∠ABD=90°.
∵AB=10cm，
∴OB=OA=5cm，
∴OD=5cm，
∴BD= $\sqrt{OD^{2}+OB^{2}}$= $\sqrt{5^{2}+5^{2}}$=5$\sqrt{2}$(cm).
(2)阴影部分的面积S扇形AOD=$\frac{90π×5^{2}}{360}$=$\frac{25}{4}$π(cm²).