《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. 如图,四边形$ ABCD 内接于 \odot O $,若$ \angle C= 120^{\circ} $,$ \odot O $的半径为 3,则$ \overset{\frown}{BD} $的长为(B).

A.$ \pi $
B.$ 2\pi $
C.$ 3\pi $
D.$ 6\pi $

答案： B　[解析]连结OB,OD.
∵∠C=120°,
∴∠A=180°−∠C=60°,
∴∠BOD=2∠A=120°,
∴$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{120\pi×3}{180}$=2π.故选B

2. 实验班原创 在半径为 6 的圆中,$ 120^{\circ} $的圆心角所对的弧长是4π.

答案： 4π

3. 如图,四边形$ ABCD 是 \odot O $的内接四边形,$ \angle B= 58^{\circ} $,$ \angle ACD= 40^{\circ} $. 若$ \odot O $的半径为 5,则$ \overset{\frown}{CD} $的长为 .

答案：
π　[解析]如图，连结OA,OD,OC.
∵∠B=58°,∠ACD=40°.
∴∠AOC=2∠B=116°,∠AOD=2∠ACD=80°,
∴∠DOC=36°,
∴$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{36\pi×5}{180}$=π.

4. 若扇形的圆心角为$ 120^{\circ} $,弧长为$ 2\pi $,则它的半径长为3.

答案： 3

5. 转化思想 某个滑轮起重装置如图所示,滑轮的半径是 10 cm,当重物上升 10 cm 时,滑轮的一条半径$ OA 绕轴心 O $按逆时针方向旋转的角度约为多少度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动,$ \pi $取 3.14,结果精确到$ 1^{\circ} $)

答案：
∵$l=\frac{n\pi R}{180}$,
∴$n=\frac{180l}{\pi R}=\frac{180×10}{10\pi}$≈57(度).故滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为57°.

6. 中考新考法 课题实践活动 (2024·福建南平期末)某校在社会实践活动中,小明同学用一个直径为 30 cm 的定滑轮带动重物上升. 如图,滑轮上一点$ A 绕点 O 逆时针旋转 108^{\circ} $,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了(B).

A.$ 6\pi $ cm
B.$ 9\pi $ cm
C.$ 12\pi $ cm
D.$ 15\pi $ cm

答案： B　[解析]$l=\frac{108\pi×\frac{30}{2}}{180}$=9π(cm).

7. (2024·绍兴诸暨期末)如图,在$ \triangle ABC $中,$ AB= AC= 4 $ cm,$ \angle BAC= 40^{\circ} $,以$ AB 为直径作圆 O $,交$ BC 于点 D $,交$ AC 于点 E $,则弧$ DE $的长是( ).

A.$ \frac{5}{2} $ cm
B.$ \frac{2\pi}{9} $ cm
C.$ \frac{4\pi}{9} $ cm
D.$ \frac{8\pi}{9} $ cm

答案：
C　[解析]连结AD,OD,OE,如图.
∵AB是圆的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×40°=20°,
∴∠DOE=2∠DAE=40°.
∵AB=4cm,
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=2cm,
∴弧DE的长为$\frac{40\pi×2}{180}$=$\frac{4\pi}{9}$(cm).故选C.

8. (2025·广西南宁期末)$ 150^{\circ} 的圆心角所对的弧长是 5\pi $,则此弧所在圆的半径是6.

答案： 6　[解析]设此弧所在圆的半径为R，根据题意，得$5\pi=\frac{150\pi R}{180}$，解得R=6.

9. (2024·宁波镇海区期末)如图,将一个三角形纸板$ ABC 的顶点 A 放在 \odot O $上,$ AB $经过圆心,$ \angle A= 30^{\circ} $,半径$ OA= 2 $,则在$ \odot O 上被这个三角形纸板遮挡住的 \overset{\frown}{DE} $的长为 .(结果保留$ \pi $)

答案：
$\frac{2}{3}\pi$　[解析]如图，连结OE.
∵∠A=30°,
∴∠DOE=60°.
∵OA=2,
∴$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{60\pi×2}{180}=\frac{2}{3}\pi$.

10. (湖北武汉外国语学校自主招生)如图,半径为$ r 的 \odot O 沿着边长为 a 的正方形 ABCD $的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置,$ \odot O $自身转动的圈数是$\frac{2a}{\pi r}+1$.(用含$ a $,$ r $的代数式表示)

答案： $\frac{2a}{\pi r}+1$