《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

2. 在平面直角坐标系xOy中,二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象经过点$A(0,-4)$和$B(-2,2).$
(1)求c的值,并用含a的式子表示b；
(2)当$-2＜x＜0$时,若二次函数满足y随x的增大而减小,求a的取值范围；
(3)直线AB上有一点$C(m,5)$,将点C向右平移4个单位长度,得到点D,若抛物线与线段CD只有一个公共点,求a的取值范围.

答案：

(1)把点A(0,-4)和B(-2,2)分别代入y=ax²+bx+c中,得c=-4,4a-2b+c=2.
∴b=2a-3.
(2)当a＜0时,依题意,得抛物线的对称轴需满足-(2a-3)/(2a)≤-2,解得-3/2≤a＜0.
当a＞0时,依题意,得抛物线的对称轴需满足-(2a-3)/(2a)≥0,解得0＜a≤3/2.
∴a的取值范围是-3/2≤a＜0或0＜a≤3/2.
(3)设直线AB的表达式为y=mx+n,
则{n = -4,2 = -2m + n},解得{m = -3,n = -4}
∴直线AB表达式为y=-3x-4,
把C(m,5)代入,得m=-3.
∴点C的坐标为(-3,5),由平移得点D的坐标为(1,5).
①当a＞0时,若抛物线与线段CD只有一个公共点,如图
(1),y=ax²+bx+c=ax²+(2a-3)x-4,当x=1时,y=3a-7,
则抛物线上的点(1,3a-7)在点D的下方,

∴a+2a-3-4＜5,解得a＜4,
∴0＜a＜4.
②当a＜0时,若抛物线的顶点在线段CD上,则抛物线与线段只有一个公共点,如图
(2),

∴(4ac-b²)/(4a)=5,即(4a×(-4)-(2a-3)²)/(4a)=5.
解得a=-3+(3√3)/2或a=-3-(3√3)/2.
综上所述,a的取值范围是0＜a＜4或a=-3-(3√3)/2或a=-3+(3√3)/2.

(1)抛物线对称轴为直线x=1,点A坐标为(-1,0)；
(2)已知点$M(2,-4),N(1,-4)$,连结MN所得的线段与该抛物线有交点,直接写出m的取值范围.1≤m≤4/3

答案：
(1)直线x=1 (-1,0) [解析]抛物线的对称轴为直线x=-b/(2a)=-(-2m)/(2m)=1.
令y=mx²-2mx-3m=0,解得x=3或-1,
∴点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0).
(2)当抛物线过点M时,4m-4m-3m=-4,解得m=4/3,
当抛物线过点(1,-4)时,m-2m-3m=-4,解得m=1,
∴m的取值范围为1≤m≤4/3.

变式 2.2 实验班原创 如图,点A,B为x轴上的点,点C为y轴上一点,$OA=OC=6$,对称轴为直线$x=-2$的抛物线经过A,B,C三点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点F在对称轴上运动,将线段BC绕着点F逆时针方向旋转$90^{\circ}$后得到线段$B_{1}C_{1}$,当点$B_{1}$与$C_{1}$恰有一点落在抛物线上时,求点F的坐标.

答案：
(1)解：由题意得，A(-6,0)，C(0,6)。设抛物线表达式为$y=a(x+2)^2+k$。将A、C代入得：
$\begin{cases}a(-6+2)^2+k=0\\a(0+2)^2+k=6\end{cases}$
$\begin{cases}16a+k=0\\4a+k=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\k=8\end{cases}$
抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+8=-\frac{1}{2}x^2-2x+6$。
(2)解：令$y=0$，$-\frac{1}{2}x^2-2x+6=0$，解得$x=-6$或$x=2$，则B(2,0)。设F(-2,t)。
设$B_1(x_1,y_1)$，$C_1(x_2,y_2)$，由旋转性质得：
$\overrightarrow{FB}= (4,-t)$，$\overrightarrow{FB_1}=(x_1+2,y_1-t)$，$\overrightarrow{FC}=(2,6-t)$，$\overrightarrow{FC_1}=(x_2+2,y_2-t)$。
因为旋转90°，所以$\overrightarrow{FB_1}=(-t,-4)$，$\overrightarrow{FC_1}=(t-6,2)$。
则$B_1(-2-t,t-4)$，$C_1(-2+t-6,t+2)= (t-8,t+2)$。
①当$B_1$在抛物线上，$C_1$不在时：
$t-4=-\frac{1}{2}(-2-t)^2+8$
$t-4=-\frac{1}{2}(t^2+4t+4)+8$
$t-4=-\frac{1}{2}t^2-2t-2+8$
$t-4=-\frac{1}{2}t^2-2t+6$
$t^2+6t-20=0$
解得$t=-3\pm\sqrt{29}$。
检验$C_1$：当$t=-3+\sqrt{29}$，$C_1(\sqrt{29}-11,\sqrt{29}-1)$，代入抛物线不成立；当$t=-3-\sqrt{29}$，$C_1(-\sqrt{29}-11,-\sqrt{29}-1)$，代入不成立。
②当$C_1$在抛物线上，$B_1$不在时：
$t+2=-\frac{1}{2}(t-8)^2+8$
$t+2=-\frac{1}{2}(t^2-16t+64)+8$
$t+2=-\frac{1}{2}t^2+8t-32+8$
$t+2=-\frac{1}{2}t^2+8t-24$
$t^2-14t+52=0$
$\Delta=196-208=-12＜0$，无解。
综上，F的坐标为$(-2,-3+\sqrt{29})$或$(-2,-3-\sqrt{29})$。